Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
b) Dérivation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivée d’une fonction. | Notations $f'(x)$, $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(f(x)\big)$. |
Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient, d’une composée. | Ces résultats sont rappelés, avec la définition de la dérivée et l’équation de la tangente ; ils ne sont pas démontrés à ce stade. Exemples simples de calculs de dérivées partielles. |
Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes, strictement (dé)croissantes, parmi les fonctions dérivables sur un intervalle. | Résultats admis à ce stade. |
Tableau de variations. Étude pratique d’une fonction. Tracé du graphe. | Application : recherche d’extremums, démonstration d’inégalités. |
Représentation graphique et dérivée d’une fonction réciproque. Fonction de classe $\mathscr{C}^1$. Dérivées d’ordre supérieur. | La formule donnant la dérivée est admise, mais on en donne l’interprétation géométrique. |
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Des inégalités sympathiques
Démontrer les inégalités suivantes : ...
Des sinus et des $x$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par ...
exo7 1221
Montrer que pour tout \(x \in { \Rr}_+ , \sin(x) \leq x .\)
exo7 1230
Soit \(f\) une fonction d’un intervalle \(I\) à valeurs dans ...
exo7 1238
Soit \(f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}\) la fonction définie par \(f(x)=0\) si ...
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1262
Soit \(g\) la fonction \(x\mapsto \dfrac{\arctan x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}\) ...
exo7 1266
Soit \(g\) la fonction définie par : ...
exo7 1283
Soit \(f\) une application \(C^{2}\) de ...
exo7 188
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = x^3-x\).
...
exo7 2059
Déterminer la longueur de la courbe \(y = \sqrt{x} (1-\dfrac x3)\) pour ...
exo7 2091
Soit \(f\,:\;\R\to\R\) une fonction continue sur \(\R\) et ...
exo7 2092
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ...
exo7 212
Montrer que la relation \(\mathcal{R}\) définie sur \(\Rr\) par : ...
exo7 220
En utilisant la fonction \(x\mapsto(1+x)^n\), calculer : ...
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 3887
On pose ...
exo7 3889
Soient \(0 < a < b\). Montrer que la fonction ...
exo7 3902
Déterminer des primitives des fonctions suivantes :
exo7 3931
Montrer que : \(\forall\ x\in{]-1,1[},\ |\arcsin(x)| \le \frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}\).
exo7 3933
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable.
exo7 3934
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que la fonction ...
exo7 3940
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3941
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).
exo7 3954
Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...
exo7 3959
Trouver toutes les applications \(f:\R \to \R\) dérivables telles que : ...
exo7 3960
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) dérivable telle que \(f\circ f = f\). Montrer q ...
exo7 3964
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de la fonction \(x \mapsto \cos^3 x\). ...
exo7 3965
Établir une formule de récurrence pour les dérivées successives des fonctions :
\(f : x \mapsto \arctan x\) ...
exo7 3966
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto (x^3+2x^2-5)e^{-x}\).
exo7 3967
Soit \(f(x) = e^{x\sqrt3}\sin x\). Calculer \(f^{(n)}(x)\) pour ...
exo7 3968
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto x^n(1-x)^n\). En déduire la ...
exo7 3969
Calculer \(\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)\), et ...
exo7 3974
On pose \(f(x) = \sin x - \frac {3x}\pi + \frac {4x^3}{\pi^3}\). Montrer que : ...
exo7 3976
Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...
exo7 3977
Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3991
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) convexe, bijective, croissante. On définit les suites ...
exo7 3996
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) concave, dérivable, croissante.
exo7 3998
Soit \(f : \R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 4010
Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :
...
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 4036
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4096
Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur ...