Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
c) Fonctions usuelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances. | Dérivée, variations, représentation graphique. Les fonctions puissances sont définies sur $\mathbb{R}_+^*$ et prolongées en 0 le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies sur $\mathbb{R}_-^*$. Logarithme décimal, logarithme en base 2. |
Relations $(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha$, $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta$, $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$. Croissances comparées des fonctions logarithme, puissances et exponentielle. Inégalités $\exp(x)\geqslant 1+x$, $\ln(1+x)\leqslant x$. | |
Fonctions circulaires réciproques Arcsin, Arccos, Arctan. | Dérivée, variations, représentation graphique. |
Fonctions hyperboliques sh, ch. | Dérivée, variations, représentation graphique. La fonction tangente hyperbolique et les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme. La seule formule exigible est $\operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)=1$. |
exo7 3963
Montrer que : \(\forall\ x \ge -1,\ \ln(1+x) \le x\).
exo7 3965
Établir une formule de récurrence pour les dérivées successives des fonctions :
\(f : x \mapsto \arctan x\) ...
exo7 3969
Calculer \(\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)\), et ...
exo7 3975
Soit \(a > 0,\ a \ne 1\). On note \(\cal C\) la courbe d’équation : ...
exo7 3993
Soit \(f : {\R} \to {\R^{+*}}\). Montrer que : (\(\ln f\) est convexe) ...
exo7 4020
\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...
exo7 4021
\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4025
On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...
exo7 4029
Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...
exo7 4030
Montrer que \(\frac1x\ln(\ch x)\) admet en \(+\infty\) un développement limité gé ...
exo7 4049
Soient \(u,v\) deux fonctions positives, \(u \sim v\), ...
exo7 4091
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\R\) ...
exo7 4231
Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).
exo7 4266
...
exo7 4331
Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...
exo7 4531
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...
exo7 4559
Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...
exo7 4575
Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 5084
Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes :
exo7 5086
Etablir pour ch, sh et th les formules d’addition, de duplication et de linéarisation.
exo7 5088
Simplifier les expressions suivantes :
exo7 5089
Calculer \(\Arctan\frac{1}{2}+\Arctan\frac{1}{5}+\Arctan\frac{1}{8}\).
exo7 5091
Etudier \(f~:~x\mapsto\ln(\ch x)-x\).
exo7 5092
On considère la fonction numérique \(f\) telle que :
...
exo7 5093
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sh(2+x)+\sh(2+2x)+...+\sh(2+100x)=0\).
exo7 5096
Résoudre dans \(\Rr\) les équations suivantes :
exo7 5099
Etudier brièvement la fontion \(x\mapsto\frac{\ln x}{x}\) et tracer son graphe.
exo7 5101
Trouver \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}\).
exo7 5102
Construire le graphe des fonctions suivantes :
exo7 5258
Pour \(x\) réel, on pose :
...
exo7 5411
Soient \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\), ...
exo7 5415
Montrer que pour tout réel strictement positif \(x\), on a : ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5467
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5470
Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...
exo7 595
Comparer les suites suivantes : ...
exo7 623
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
exo7 628
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes : ...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...