Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Géométrie 1
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Ce chapitre vise à consolider les acquis des années antérieures sur les notions de vecteurs, droites et plans dans le plan et l’espace géométriques. En mathématiques, il sert essentiellement de support intuitif et introductif à l’algèbre linéaire ; il permet aussi de présenter le produit scalaire qui sera étudié dans des espaces plus généraux en seconde année. Enfin, ce chapitre sert également aux sciences physiques et à la géologie.
En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan et l’espace géométriques formés de points et dans lesquels plusieurs notions et résultats sont supposés connus : distance entre deux points, parallélisme, perpendicularité, angle géométrique, angle orienté, angle droit, cosinus d’un angle géométrique, trigonométrie du triangle rectangle.
- a) Vecteurs du plan et de l’espace. 50
- b) Déterminant 17
- c) Droites et cercles dans le plan 168
- d) Droites et plans dans l’espace 122
- e) Projection orthogonale 61
- f) Produit scalaire 78
exo7 1995
Soit \((0, \vec{i}, \vec{j})\) un repère du plan. Déterminer l’expression analytique dans ce repère de la réflexio ...
exo7 1997
On considère dans le plan les deux droites
\((D : 3x + y = 5)\) et
...
exo7 1998
Soit \(C\) un cercle de centre \(I = (x_{0}, y_{0})\) et de rayon ...
exo7 1999
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2000
Soient \(A, B, C\) les sommets d’un triangle équilatéral de coté \(1\). Détermine ...
exo7 2001
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2006
Soit \(O, A, B\) un triangle rectangle en \(O\). A toute droite ...
exo7 2008
Soit \(ABCD\) un carré direct et \(M\) un point de la droite ...
exo7 2010
Les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2012
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite ...
exo7 2013
Quelle est la nature de l’intersection des trois plans suivants? Si c’est un point en donner les coordonnées, si c’est une droite en donner un vect ...
exo7 2014
Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles sont sécantes donner leur point d’intersection et si elles sont ...
exo7 2015
Dans chacun des cas suivants dire si la droite \((D)\) et le plan \((P)\) sont pa ...
exo7 2016
On considère les cinq points suivants: \(A(1,2,-1)\), \(B(3,2,0)\), ...
exo7 2017
Soient \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\) trois droites ...
exo7 2018
On considère les quatre points suivants: \(A(2,0,0)\), \(B(-1,\sqrt{3},0)\), ...
exo7 2019
Donner une condition sur \(m\) pour que les trois plans suivants se coupent sur une même droite. ...
exo7 2020
On considère la famille de plans \((P_m)_{m\in \Rr}\) définis par les équations cartésiennes : ...
exo7 2021
Déterminer la distance du point \(A\) au plan \((P)\)
exo7 2022
On considère les deux droites \((D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\\ -x-y+2=0 \end{array} \right.\) et ...
exo7 2023
On se donne \(2\) droites \(D_1\) et \(D_2\) aya ...
exo7 2024
Déterminer les plans bissecteurs de :
\(P: x+y+z+3=0\) et ...
exo7 2025
Déterminer l’expression analytique de la réflexion \(s\) de plan \(x + y-z = 1\). ...
exo7 2026
Déterminer la distance du point \(M = (1, 2, 3)\) aux droites ...
exo7 2027
Soit deux plans ...
exo7 2028
Écrire l’équation du plan passant par la droite ...
exo7 2029
Soit la droite d’équations ...
exo7 2030
Soit les droites \(D\) et \(D'\) non coplanaires : ...
exo7 2031
On considère les 4 points \(A\), \(B\), \(C\), ...
exo7 2033
On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère ...
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2035
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2036
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2041
Dans le plan cartésien identifié à \(\Cc\), un point \(M\) est représenté par son ...
exo7 2042
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2043
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2044
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})\). ...
exo7 2045
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distin ...
exo7 2048
Tracer la courbe d’équation \(x^{3} + y^{3} = 3xy\) en la coupant par les droites ...
exo7 2052
Soit \(C\) un cercle du plan de centre \((1, 0)\) et de rayon ...
exo7 2066
Soit \(\mathcal{P}\) une parabole de foyer \(F\), de directrice ...
exo7 2070
Déterminer astucieusement le sommet et l’axe de la parabole \(x (t) = t^2 + t + 1\) et ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2236
Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où ...
exo7 2631
Soit \(C\) le cône d’équation \(z^2= x^2+y^2\) et ...
exo7 2694
Un segment AB de longueur \(l\) se déplace dans le plan de façon que le point A reste constamment sur ...