Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Notions d’intégrale
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue et positive $f$ sur un segment $[a,b]$ : il s’agit de l’aire sous la courbe. Elle est notée $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. | La notion d’aire est ici intuitive et ne doit pas soulever de question théorique. |
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque. | Définition à partir de la partie positive et de la partie négative de la fonction. |
Extension de la définition au cas $b \leqslant a$. | |
Sommes de Riemann sur $[a, b]$ : $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right)$ | La notion d’aire étant admise, on admettra la convergence de la suite des sommes de Riemann dans le cas $\mathscr{C}^0$ et on pourra la justifier dans le cas $\mathscr{C}^1$. On observera que la formule n’était pas si intuitive : les erreurs élémentaires vont en rapetissant, mais sont aussi de plus en plus nombreuses. ⇌ Algorithme de calcul approché d’une intégrale. |
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5786
Montrer que la matrice de Hilbert ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 5917
En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :
exo7 5918
Montrer qu’une fonction monotone sur \([a,b]\) est Riemann-intégrable sur ...
exo7 5922
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...
exo7 5923
Montrer que, si \(f~:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : ...
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 661
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...
exo7 6863
Calculer l’aire intérieure d’une ellipse d’équation : \[\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1.\]
Indica ...
exo7 737
Soit \(f\in C^{1}([0;1],{\Rr}),\)telle que \(f(0)=0.\) Calculer : ...
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 788
Soit \(f\in C([0,1],{\Rr})\) telle que : ...
exo7 789
Soit \(f\) une fonction \(C^{1}\) sur \([a,b]\) ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 792
Calculer sans utiliser de primitive, pour \(a<b\) : \[\int_{a}^{b}e^{t}dt.\] ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 794
Soient \(f\) et \(g\) de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 797
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue par morceaux, continue en ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...
exo7 809
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand ...
exo7 838
Soient \(I = \int_0^\pi x\cos^2xdx\) et \(J =\int_0^\pi x\sin^2xdx\).
exo7 841
Calculer : ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 844
Calculer les limites suivantes :
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...
Limite d'une suite et intégrale de Riemann
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose: ...
Limite d’une somme de Riemann
Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}\).