Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Continuité
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Continuité en un point. Continuité à droite et à gauche. Opérations, composition. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle. | |
Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. | Ce résultat est admis. |
Théorème des valeurs intermédiaires. | On peut présenter une idée de la démonstration en s’appuyant sur un principe de dichotomie. |
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 656
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) croissante. Construire ...
exo7 657
Donner un exemple d’application \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) non constante telle que : ...
exo7 658
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue. Montrer que : ...
exo7 659
Existe-t-il une bijection continue de \([0,1[\) sur \({\Rr }\) ?
exo7 660
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue telle que \(f\circ f=f\). On note ...
exo7 661
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...
exo7 662
Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement continue ?
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 666
Soit \((f,g)\in C([0,1],[0,1])^{2},\) tel que : \(fg=gf.\) On veut montrer que ...
exo7 667
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, telle que \(f(0)=f(1).\) Montrer que ...
exo7 668
Soit \(f\) continue de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\), ...
exo7 669
Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que ...
exo7 670
Soit \(f : \R\setminus\{1/3\}\rightarrow \R\) telle que ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 672
Etudier la continuité de \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 673
Soit la fonction réelle définie par \(f(x)=1\) si \(x\in\Q\) et ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 674
On admet que pour tout \(x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .\)
exo7 675
Etudier la continuité sur \(\mathbb{R}\) des fonctions suivantes :
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 677
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur \(\R\) ? ...
exo7 678
Étudier la continuité sur \(\Rr\) des fonctions suivantes :
exo7 679
Etudier la continuité de
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 680
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que pour chaque ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 681
La fonction \(\dfrac 1x\) est-elle lipschitzienne sur \(]0, + \infty[\) ? sur ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...
exo7 683
Étudier la continuité des fonctions suivantes :
exo7 684
En étudiant la suite \(u_0 \in \Rr\) et \(u_{n + 1} = \cos (u_n)\), déterminer u ...
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 687
Montrer que l’équation \(x^7-3\,x^2+4\,x-1=0\) admet au moins une solution dans l’intervalle ...
exo7 688
Soient \(n \in \N^*\) et \(d \in \R^+\). Démontrer en utilisant le théorème des v ...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
exo7 695
On dit qu’un ensemble \(A\) de fonctions définies sur un intervalle \(I=[a,b]\) d ...
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 700
Soit \(f : \Rr^* \longrightarrow \Rr\) définie par ...
exo7 707
Prolonger par continuité en \(0\) et étudier la dérivabilté de
exo7 709
Soit \(f (x) = \exp (-\frac 1{x^2})\) si \(x \neq 0\) et ...
exo7 711
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 713
La fonction \(x\rightarrow \cos \sqrt{x}\) est-elle dérivable en \(0\) ?
exo7 714
En quels points la fonction \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 740
On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par ...
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...