Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Polynômes, règles de calcul.
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Notation $P : x \mapsto \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$. Monômes, coefficients. Polynôme nul. Cas particuliers : polynômes constants, fonctions affines, fonctions puissances entières. | Les notations $X$, $\mathbb{R}[X]$ ne sont pas exigibles en première année. |
Les opérations usuelles (combinaison linéaire, produit, composée) sur les polynômes fournissent des polynômes. | |
Unicité de l’écriture des polynômes : un polynôme à coefficients dans $\mathbb{R}$ est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. | En conséquence, deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients. |
Coefficient dominant. Degré d’un polynôme. | On convient que le polynôme nul est de degré $-\infty$. |
Degré d’une somme, d’un produit de polynômes. | Le degré d’une composée de polynômes n’est pas un attendu du programme. |
Polynôme dérivé. Degré du polynôme dérivé. | Les formules donnant les coefficients des dérivées $k$-ièmes, $k > 2$, ne sont pas exigibles. La formule de Taylor est hors programme. |
exo7 1573
Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...
exo7 2279
Soient \(P\in \Zz[x]\), \(n\in \Nn\), \(m=P(n)\) ...
exo7 228
En utilisant la formule du binôme montrer : ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 3071
Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivé ...
exo7 3174
Soient \(A,B,C,D \in {\R[X]}\) tels que : ...
exo7 3180
Trouver tous les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que : ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3518
Soit ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3929
Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et ...
exo7 4048
Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...
exo7 420
Résoudre les équations :
exo7 432
Soit \((P,Q)\in \Rr_{n}[X]^{2}\) tels que ...
exo7 433
Soient \(W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.\)
exo7 4522
Soit \(p \in \N\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés ...
exo7 5042
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...
exo7 5143
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5150
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...
exo7 5331
Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant \(P(2X)=P'(X)P''(X)\).
exo7 5412
Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).
exo7 5550
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5728
Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 614
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6531
Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...
exo7 692
Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...
exo7 6972
Soit \(T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)\) pour \(x\in [-1,1]\).
exo7 7310
L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7337
Les polynômes symétriques élémentaires en \(n\) indéterminées sont par définition ...
exo7 7339
Calculer \(P(2)\) où \(P=3x^4-x^2-16x-14\) par la méthode de Hörner. Effectuer la ...
exo7 7341
Soit \(P=3x^5 - 6x^4 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).
exo7 7379
Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...