Programme de mathématiques MP, MPI
e) Réduction des isométries
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable. | |
Réduction d’une isométrie en base orthonormée. | Interprétation matricielle. |
Cas particulier : réduction d’une isométrie vectorielle directe d’un espace euclidien de dimension 3. | La forme réduite justifie la terminologie « rotation ». La pratique du calcul des éléments géométriques d’un élément de $\mathrm{SO}_3(\mathbb{R})$ n’est pas un attendu du programme. |
exo7 1484
Quelle est la transformation de \(\Rr^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 1544
Déterminer la nature des transformations de \(\R^{3}\) dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes ...
exo7 1550
Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...
exo7 1562
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1563
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(3\) et ...
exo7 1564
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(4\) et ...
exo7 1567
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1986
Soit \(R\) le rotation vectorielle d’angle \(\theta\) et d’axe orienté par le vec ...
exo7 1987
Determiner la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) du retournement d’axe ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 1989
Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3701
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \(\vec u \in E\) ...
exo7 3702
Soit \(\rho\) une rotation d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, et ...
exo7 3703
Soient \(f,g \in {\cal O}(\R^3)\) ayant même polynôme caractéristique.
Montrer qu’il existe ...
exo7 3704
Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) une bond d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimensio ...
exo7 3705
Déterminer les sous-groupes de \({\cal O}^+(3)\) de cardinal 2,3, ou 4.
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3708
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3712
Déterminer la matrice de la rotation \(\cal R\) de \(\R^3\) dans une base orthono ...
exo7 3741
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3748
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3761
On considère l’endomorphisme de \(\R^3\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 4965
Soit \(ABCD\) un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à d ...
exo7 4976
Soient \(f,g\) deux vissages d’angles \(\ne \pi\). Trouver une CNS pour que ...
exo7 4977
Soient \(D_1,D_2,D_3\), trois droites, et \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) les ...
exo7 4978
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier, et \(d_{AB},d_{AC},d_{AD}\) les ...
exo7 4980
Déterminer toutes les isométries
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5498
Soit \(r\) la rotation de \(\Rr^3\), euclidien orienté, dont l’axe est orienté pa ...
exo7 5503
Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de \(\Rr^3\) autour de ...
exo7 5504
Dans \(\Rr^3\), espace vectoriel euclidien orienté rapporté à la base orthonormée directe ...
exo7 5793
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base orthonormée directe d’un espace euclidien orienté ...
exo7 6415
On considère l’application \(\xi_s(q)=-sqs^{-1}\ (s\in(\R^3)^*,\ q\in\R^3).\) Montrer que ...
exo7 6416
Si \(q\in S^3\) tel que \(q=\cos\theta + I\sin\theta,\ I\in S^2,\) alors montrer ...
exo7 7445
Soit \((E,<.>)\) un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7463
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7473
Rappeler toutes les isométries du plan euclidien et de l’espace euclidien de dimension 3, en précisant leur partie linéaire, leur point fixe, leur ...
exo7 7476
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7477
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 7511
Écrire la table de toutes les isométries d’un espace affine euclidien de dimension \(3\).