Programme de mathématiques MP, MPI
Équations différentielles linéaires
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La notion générale d’équation différentielle linéaire est introduite à partir des exemples étudiés en première année : équation scalaire d’ordre 1, équation scalaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.
La pratique de la résolution explicite des systèmes linéaires à coefficients constants n’est pas un objectif du programme. On limite en conséquence la technicité des exercices sur ce point. On peut en revanche présenter aux étudiants divers exemples d’études qualitatives d’équations différentielles linéaires scalaires ou de systèmes linéaires. Concernant les systèmes à coefficients constants, on pourra souligner le rôle du signe des parties réelles des valeurs propres de la matrice ; on pourra également, en dimension 2, représenter les courbes intégrales.
Dans cette section, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, $E$ un espace normé de dimension finie.
- a) Généralités 48
- b) Solutions d’une équation différentielle linéaire 80
- c) Exponentielle d’un endomorphisme, d’une matrice 32
- d) Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants 22
- e) Variation des constantes 15
exo7 4099
Soit \(y : \R \to \R\) une solution non identiquement nulle de ...
exo7 4100
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues avec \(f\) positive. Montrer qu’il ex ...
exo7 4101
Soient \({p,q} : \R \to \R\) continues avec : ...
exo7 4102
Soit \(A : {\R^+} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, t \mapsto {(a_{ij}(t))}\) continue avec : ...
exo7 4103
On pose \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}e^{itx} \frac {d t}{\sqrt t}\). Former une équation différentielle sa ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4105
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4106
On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur \(\R\) : ...
exo7 4107
Soit \(A\) coninue de \(\mathcal{M}_n(\R)\) dans lui-même. On suppose que les ...
exo7 4108
Soit une application \(A\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4112
\(xy'+y = xy^3\).
exo7 4116
Résoudre numériquement le système ...
exo7 4117
\(y'' = \sin y\), \(y(0) = \frac\pi2\), ...
exo7 4118
Existe-t-il des solutions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\) de l’équation di ...
exo7 4120
Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).
exo7 4122
On considère l’équationn différentielle \((E) : x'=x^{2}-t\) et l’ensem ...
exo7 4124
On considère l’équation : \(y' = 2ty + y^2,\ y(t_0) = y_0\). Soit \(y\) une s ...
exo7 4126
Soit \(F : {[a,b]\times \R} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que pour t ...
exo7 4128
\(\begin{cases} y'' + \sin y = 0 \cr y(0) = 0,\ y'(0) = \alpha \ge 0.\cr\end{cases}\)
Soit ...
exo7 4129
On suppose que \(f\) est bornée par \(M\) et ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4133
Soient \(f : {\R^2} \to \R, {(t,x)} \mapsto {f(t,x)}\) de classe ...
exo7 4134
Soit \(J\) un intervalle de \(\R\) et ...
exo7 4135
On considère le système différentiel : ...
exo7 4176
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\C)} \to {\mathcal{M}_n(\C)}, M \mapsto {\exp(M).}\)
exo7 4412
Résoudre dans \(\mathcal{M}_2(\C)\) : ...
exo7 4563
Soient \(A,B\in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que : ...
exo7 4597
Montrer que l’équation \(3xy' + (2-5x)y = x\) admet une solution développable en série entière autour de ...
exo7 4660
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 4661
Soit \(k \in \R\). Résoudre l’équation différentielle ...
exo7 5628
Pour \(A\) matrice nilpotente donnée, on pose ...
exo7 5864
Déterminer ...
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5872
Pour \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\), calculer ...
exo7 5873
Montrer que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{exp}(A)\) est un polynôme ...
exo7 5876
Soit \(f\) une application de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5879
Résoudre les systèmes suivants :
exo7 5880
Soit \(A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\). Montrer que pour toute solution de ...
exo7 5881
Résoudre les systèmes :
exo7 5882
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5884
Trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(]0,+\infty[\) vérifiant ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6316
On considère l’équation différentielle \[(E)\qquad y''+y'+y=0\]
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6320
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6322
On considère l’équation différentielle \(x'=|x|+|t|\);
exo7 6323
On considère l’équation différentielle \(x'= |x|+|t|\).