Programme de mathématiques MP, MPI
d) Topologie d’un espace normé
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ouvert d’un espace normé. Stabilité de l’ensemble des ouverts par réunion quelconque, par intersection finie. | Une boule ouverte est un ouvert. Un produit (fini) d’ouverts est un ouvert. |
Voisinage d’un point. | |
Fermé d’un espace normé. Stabilité de l’ensemble des fermés par intersection quelconque, par réunion finie. | Une boule fermée, une sphère, sont fermées. Un produit (fini) de fermés est fermé. |
Point intérieur, point adhérent. Intérieur, adhérence, frontière d’une partie. Caractérisation séquentielle des points adhérents, des fermés. Partie dense. Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente. | |
Si $A$ est une partie d’un espace normé, ouvert et fermé relatifs de $A$. Voisinage relatif. | Par définition, une partie $U$ de $A$ est un ouvert relatif si $U$ est voisinage relatif de chacun de ses points. Caractérisation comme intersection avec $A$ d’un ouvert de $E$. Les fermés relatifs sont par définition les complémentaires dans $A$ des ouverts relatifs. Caractérisation séquentielle. Caractérisation comme intersection avec $A$ d’un fermé de $E$. |
exo7 4730
Soient \(A,B\) deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si ...
exo7 4731
Soit \(U\) un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que ...
exo7 4732
Soit \(U\) un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que la frontière de ...
exo7 4734
Soit \(A\) une partie non vide et bornée d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4735
Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\). Un point ...
exo7 4736
Soient \(E\), \(F\) deux espaces vectoriels normés et ...
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4742
Soient \(A,B\) deux parties compactes non vides de \(\R^n\).
Montrer qu’il ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4774
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
exo7 4775
Soient \(A,B\) deux parties non vides d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4776
Soit \(F\) un fermé de \(\R^n\) et ...
exo7 4777
Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...
exo7 4778
Soit \(E\) un evn et \(F\) un sev de \(E\).
exo7 4779
\(E\) est un \(\R\)-espace vectoriel normé et ...
exo7 4782
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ...
exo7 4783
On pose \(E=C([0,1],\R)\) et on le munit de la norme \(N_{\infty}\). Soit ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4785
Soit \(A\) une partie convexe d’un evn \(E\).
exo7 4787
On considère l’espace \(\mathcal{M}_n(\C)\) muni d’une norme quelconque.
exo7 4789
Soit \(n\in\N^*\) et \(\sigma\in\R^n\). On note ...
exo7 4796
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...
exo7 4798
Montrer que les points fixes de \(f\), continue sur \([0,1]\), à val ...
exo7 4800
Soit \(f\) une fonction polynomiale sur \(\C\). Montrer que l’image par ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 4818
Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4823
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\). On suppose que ...
exo7 4824
Soit \(E\) un evn et \(A\) une partie de \(E\) n ...
exo7 4825
Soit \(E\) un evn de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 4826
Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de ...
exo7 4827
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to {F.}\) ...
exo7 4829
Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 4833
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \((K_n)\) une suite dé ...
exo7 4835
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4849
Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...
exo7 4852
Montrer qu’un plan euclidien n’est pas réunion de cercles disjoints non réduits à un point.
exo7 500
Soit \(A\) une partie de \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 502
Soient \(A\) et \(B\) deux parties denses de ...
exo7 5844
Soient \(A\) et \(B\) des parties d’un espace vecto ...
exo7 5845
Trouver une partie \(A\) de \(\Rr\) telle que les sept ensembles ...
exo7 5846
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des fonctions continues sur ...
exo7 5847
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\).
...exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6088
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 6089
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\C\) de boule unité fermée ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.