Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
e) Anneau des matrices carrées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Anneau $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n \geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. | Application au calcul de puissances. |
Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. Inverse d’une transposée. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX = Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
exo7 2775
Calculer l’inverse de la matrice suivante : ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3359
Soit
...
exo7 3360
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(A\) est centro ...
exo7 3362
On note ...
exo7 3365
Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), ...
exo7 3366
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer qu’il existe \(U,V \in GL_n( K)\) telles ...
exo7 3367
Soit \(P \in GL_n( K)\). Montrer que l’application ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3376
Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3380
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique.
exo7 3381
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans ...
exo7 3384
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). On dit que \(A\) est positive si tous ses c ...
exo7 3385
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Exprimer en fonction de \(k\) le terme génér ...
exo7 3386
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) e ...
exo7 3387
Une partie \({\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)\) est appelée idéal à droite de ...
exo7 3395
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&0&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1 \cr\end{pmatrix}\). En écrivant ...
exo7 3396
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3397
Calculer \(A^k\) pour \(k \in \N\) :
exo7 3398
Inverser les matrices suivantes :
exo7 3399
Soient ...
exo7 3407
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}\). ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3441
On note \(SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}\).
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...
exo7 3467
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B\) la matrice obtenue en échange ...
exo7 3472
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3476
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)\) tq ...
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3482
Soit une matrice \(M\) de rang \(r\) telle que : ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...