Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles en un point d’une fonction $f$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notations $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$. L’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la continuité. |
Fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert. | Définition par la continuité des dérivées partielles. La notion de fonction différentiable est hors programme. |
Développement limité à l’ordre 1 au point $(x_0, y_0)$ d’une fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ : $\displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k + o(\lVert (h, k)\rVert).$ | Démonstration hors programme. On met en évidence l’idée de l’approximation linéaire de $f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)$ et l’interprétation de $\displaystyle z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$ comme équation du plan tangent en $(x_0, y_0)$ à la surface d’équation $z = f(x, y)$. |
Gradient d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. | Notation $\nabla f(x_0, y_0)$. |
Expression du développement limité à l’aide du gradient. | Le gradient de $f$ en $(x_0, y_0)$ définit la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite. |
exo7 4213
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On pose ...
exo7 4214
On considère l’équation aux dérivées partielles sur \(\Omega = (\R^{+*})^2\) : ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4216
Pour \((x,y) \in {\R^2}\), on pose \(u = x^2-y^2\), ...
exo7 4217
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4219
Trouver les fonctions \(g : {\{(u,v)\in\R^2\text{ tq } u > v\}} \to \R\) de classe ...
exo7 4343
On pose \(I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t\).
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4547
Pour \(y\in\R\) et \(n\in\N^*\), on pose ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 5555
Déterminer la classe de \(f\) sur \(\Rr^2\) où ...
exo7 5556
Soit ...
exo7 5558
Trouver les extrema locaux de
exo7 5559
Maximum du produit des distances aux cotés d’un triangle \(ABC\) du plan d’un point ...
exo7 5561
Trouver toutes les applications \(\varphi\) de \(\Rr\) dans ...
exo7 5562
Trouver toutes les applications \(f\) de \(\Rr^2\) dans ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5767
Pour \(x\in\Rr\), on pose \(F(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\;dt\) ...
exo7 5888
Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5889
Soit ...
exo7 5890
Montrer que ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5894
Extremums des fonctions suivantes :
exo7 5898
Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes :
exo7 6290
Trouver les applications \(G: \Rr^2 \to \Rr\) de classe \(C^2\) telles que ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6293
Vérifiez que les fonctions suivantes sont harmoniques dans \(\Rr^2\) :
exo7 6294
Exprimez en coordonnées polaires : ...
exo7 6299
\(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle\).
exo7 6302
Déterminer approximativement la valeur de \(1,05^{1,02}\) avec une erreur d’au plus ...
exo7 6303
Montrer que si \(x = 1,32 \pm 10^{-2}\) et \(y = 0,45 \pm 10^{-2}\), alors ...
exo7 6304
Ecrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de (0,0) pour la fonction ...
exo7 6305
Soit \(f(x,y)\) une fonction de classe \(C^2\) au voisinage du cercle ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6307
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel \(\lambda\), la nature des extremums de la fonction ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6876
On considère le champ vectoriel \(\vec{V}(x,y)=(1+2xy,x^3-3)\). Ce champ est-il un champ de gradient ?
exo7 6877
Quel est le champ vectoriel qui dérive du potentiel \[U(x,y,z)=1+x+xy+xyz ?\]
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction de deux variables non continue
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Fonction Logarithmique
On considère la fonction définie par \(f(x,y)=\ln(4-x^2-y^2)\).
Fonctions homogènes
Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Limite et continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) telle que ...