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Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...

Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...

Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...

...

Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de ...

Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...

Déterminer les fonctions \(f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)\) telles que : ...

Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues et \(a,b \in \R\). On pose ...

Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes :

On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).

Montrer, pour \(x>1\) : ...

Soit \(P\in \C[X]\) de degré \(n\ge 1\). Le but de cet exercice est de prouver qu ...

Soit \(f : \R \to {\C^*}\) telle que : \(\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)\). ...

Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).

Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...

Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).

Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).

Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...

Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).

Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...

Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).

Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).

Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...

On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;

...

Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que la suite \((\exp(iu_n))\) ...

Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...

Soient \(n\in \Nn^{*}\) et \(a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}\), ...

Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...

Soit \(A= \mathbb{Q}\cap\mathopen]0,1 \mathclose[\) et \(a,b\in\mathbb{R}_+\). On ...

Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...

Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...

Pout tout \(x\in \Rr\) on note \(E(x)\) sa partie entière et ...

Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) telle que ...

Étudier les points stationnaires des courbes paramétrées suivantes :

Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...

Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...

Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes :

Etablir pour ch, sh et th les formules d’addition, de duplication et de linéarisation.

Simplifier les expressions suivantes :

Calculer \(\Arctan\frac{1}{2}+\Arctan\frac{1}{5}+\Arctan\frac{1}{8}\).

Etudier \(f~:~x\mapsto\ln(\ch x)-x\).

On considère la fonction numérique \(f\) telle que :

...

Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sh(2+x)+\sh(2+2x)+...+\sh(2+100x)=0\).

Montrer que pour tout réel \(x\) non nul, on a :  ...

Résoudre dans \(\Rr\) les équations suivantes :