Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Procédés sommatoires discrets
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L’étude des séries prolonge celle des suites et permet d’appliquer les techniques d’analyse asymptotique. Les objectifs majeurs en la matière portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue. L’étude de séries semi-convergentes est limitée aux exemples fournis par le théorème des séries alternées.
L’étude des familles sommables est menée dans un deuxième temps. On prolonge les calculs de sommes finies effectués en début d’année, en mettant en évidence un cadre permettant de sommer « en vrac » une famille infinie et procurant ainsi un grand confort de calcul. Dans le cas d’une famille positive, le calcul dans $[0, +\infty]$ se suffit à lui-même et contient l’étude de la sommabilité. Dans le cas d’une famille quelconque, il est préconisé de commencer par un calcul formel à justifier dans un second temps.
On se concentre sur la pratique, qui jouera un rôle important en deuxième année.
- a) Convergence et divergence 205
- b) Séries à termes positifs ou nuls 139
- c) Séries absolument convergentes à termes réels ou complexes 61
- d) Théorème des séries alternées 24
- e) Familles sommables de nombres réels positifs 5
- f) Familles sommables de nombres complexes 2
exo7 4586
Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...
exo7 4587
Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...
exo7 4594
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...
exo7 4595
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4600
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).
exo7 4604
Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).
M ...
exo7 4607
A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 4619
Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...
exo7 4651
Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...
exo7 4652
Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...
exo7 4665
Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).
exo7 4672
On pose \(u_n = \frac {96\times(-1)^n}{(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}\) et ...
exo7 4679
On pose \(u_n = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \dots + \frac 1{n!}\).
exo7 4696
Soit \(f : {\N} \to {\N}\) injective. Montrer que ...
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 5090
Calculer \(u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}\) pour ...
exo7 5142
Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.
exo7 5144
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5222
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...
exo7 5224
Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).
exo7 535
Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arb ...
exo7 5475
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
exo7 5688
Nature de la série de terme général
exo7 5689
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...
exo7 5690
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...
exo7 5691
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
exo7 5692
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...
exo7 5693
Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...
exo7 5694
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...
exo7 5695
Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...
exo7 5696
Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).
exo7 5697
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite positive telle que la série de terme général ...
exo7 5698
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...
exo7 5699
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...
exo7 5700
Soit \(\alpha\in\Rr\). Nature de la série de terme général ...
exo7 5701
On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).
A partir de la série précédente, on cons ...
exo7 5702
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).
exo7 5703
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général
1) (**) ...
exo7 5704
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...
exo7 5705
Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...
exo7 5706
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...
exo7 5707
Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...
exo7 5708
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
exo7 5709
Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...
exo7 5710
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).
exo7 5711
Soient \((u_n)_{n\geqslant1}\) une suite réelle. Pour \(n\geqslant 1\), on pose ...
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...