Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Développements limités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Développement limité à l’ordre $n$ d’une fonction en un point. Unicité des coefficients, troncature. | Le développement limité à l’ordre $n$ de $f$ en $a$ peut se ramener à celui de $h\mapsto f(a+h)$ en 0. Signe de $f$ au voisinage de $a$. |
Développement limité en 0 d’une fonction paire, impaire. Caractérisation de la dérivabilité par l’existence d’un développement limité à l’ordre 1. | |
Opérations sur les développements limités : combinaison linéaire, produit, quotient. | On privilégie la factorisation par le terme prépondérant pour prévoir l’ordre d’un développement. Les étudiants doivent savoir déterminer sur des exemples simples le développement limité d’une composée, mais aucun résultat général n’est exigible. |
Primitivation d’un développement limité. Formule de Taylor-Young : pour $f$ de classe $\mathscr{C}^n$, développement limité à l’ordre $n$ en 0 de $h\mapsto f(a+h)$. Développement limité à tout ordre en 0 de exp, sin, cos, sh, ch, $x\mapsto\ln(1+x)$, $x\mapsto\dfrac{1}{1-x}$, $x\mapsto(1+x)^\alpha$, Arctan. Développement limité à l’ordre 3 en 0 de tan. | |
Application des développements limités à l’étude locale d’une fonction. Condition nécessaire, condition suffisante à l’ordre 2 pour un extremum local en un point intérieur. | Calculs d’équivalents et de limites, position relative d’une courbe et de sa tangente, détermination d’asymptotes. |
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Développement limité
Donner le développement limité de \(\ln(1+x)\) au voisinage de \(0\) à l’ordre ...
Développement limité
Donner le développement limité de \(e^x\) et de \(\sin(x)\) au voisinage de ...
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Equivalents simples
- \question{ ...
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Etude d'une série positive
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose : ...
exo7 1215
Montrer que si \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) al ...
exo7 1217
Calculer les limites de
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1231
Soit \(f\) une application de \({ \Rr}\) dans ...
exo7 1237
Donner le développement limité en \(0\) des fonctions :
exo7 1238
Soit \(f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}\) la fonction définie par \(f(x)=0\) si ...
exo7 1239
Déterminer la limite en \(0\) de ...
exo7 1240
Faire un développement limité ou asymptotique en \(a\) à l’ordre \(n\) de :
exo7 1241
Développements limités en \(0\) de :
exo7 1242
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les conditions sur \(\epsilon (x)\) pour que ces fonctions soient des ...
exo7 1243
Développement limité en \(1\) à l’ordre \(3\) de ...
exo7 1244
Donner un développement limité à l’ordre \(2\) de ...
exo7 1245
Donner un développements limité en \(0\) à l’ordre \(10\) de :
exo7 1246
Donner le DL2 en \(+\infty\) de : ...
exo7 1247
Calculer les limites suivantes ...
exo7 1248
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 1249
Étudier la position du graphe de l’application \(x\mapsto \ln(1+x+x^2)\) par rapport à sa tangente en ...
exo7 1251
Établir pour tout \(x \in { \Rr}_+^*\) l’inégalité : ...
exo7 1252
Montrer que pour tout ...
exo7 1253
Soit \(f (x) = (\cos x)^{\frac 1x}\) pour ...
exo7 1254
Étudier les branches infinies des fonctions :
exo7 1255
Soit \((1)\) l’équation \(x-E (x) = \frac 1 {x^2}\).
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1257
Calculer : \[\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}\] et donner un équiva ...
exo7 1259
Soit \(n\in \Nn^{*},x\neq 0,\) on définit : ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1261
Soient \(u,v,f\) définies par : ...
exo7 1262
Soit \(g\) la fonction \(x\mapsto \dfrac{\arctan x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}\) ...
exo7 1263
Soient \(f:x\mapsto \dfrac{x^3+2}{x^2-1}\) et ...
exo7 1265
Déterminer:
exo7 1267
Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Rr\) ...
exo7 1270
Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...
exo7 1277
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
exo7 1279
Donner un développement : \[\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt=a+\frac{b}{n}+o(\frac{1}{n}).\]
exo7 1732
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) convexe.
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 2657
Calculer \[\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.\] Donner un équivalent de ...
exo7 3194
Soit \(n\in\N^*\). Montrer l’existence de \(P_n\in\R[X]\) tel que ...
exo7 3276
Soit \(F \in { K(X)}\) définie en \(a \in K\). Démontr ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).
exo7 4002
Soit \(f:\R \to \R\) convexe dérivable telle que ...