Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 3777
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que \(A\) est symétrique définie positi ...
exo7 3778
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Pour \(1 \le p \le n\), on note ...
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3781
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...
exo7 3784
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer ...
exo7 3786
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques définies positives. Montrer que ...
exo7 3787
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu’il existe une base orthonormée ...
exo7 3798
Soit \(A\in M_n(\R)\) telle que \(A^3={}^t\!A A\). ...
exo7 3805
Soit \(A\) matrice réelle ; montrer que \(A\) est diagonalisable ssi il existe ...
exo7 3807
Soient \(X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) indépendantes, \(a \in \R\) et ...
exo7 3808
Soit \(J = \begin{pmatrix}I_n&0\cr0&-I_p\cr\end{pmatrix}\), et ...
exo7 3809
Soit ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3812
Soit \(S\), matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction de \(t\) ...
exo7 3813
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...
exo7 3814
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que pour tout \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)\) ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 3822
Déterminer \(\{M \in {\cal{M}}_n(\R) \text{ tq } M(^tMM)^2=I_n\}\).
exo7 3830
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique définie positive.
exo7 3838
Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...
exo7 3981
Soit \(f : \R \to \R\) convexe et \(x < y < z\). Montrer que ...
exo7 4004
Soit \(f:\R \to \R\) trois fois dérivable en \(a\). Étudier ...
exo7 4160
Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(\sigma_1,\dots,\sigma_n)}\)
où ...
exo7 4172
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}\)
Montrer que ...
exo7 4583
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...
exo7 4749
Soit \(B\) une matrice antisymétrique. On suppose que la suite ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 4752
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\). On suppose que la suite de matrices : ...
exo7 4764
Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4859
Soient \(I,J,K\) trois points du plan. Montrer l’équivalence entre les trois propriétés :
a) ...
exo7 4884
Soit \((A,B,C)\) une base affine de \({\cal E}_2\), et ...
exo7 5189
Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5257
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5258
Pour \(x\) réel, on pose :
...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5260
Soit ...
exo7 5261
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\Rr^3\), nilpotent d’indice ...
exo7 5262
Soit ...
exo7 5263
Montrer que ...
exo7 5264
Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
exo7 5265
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5266
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles que ...
exo7 5267
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) \((n\geq2)\) définie par
...
exo7 5268
Déterminer le centre de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\), c’est à dire l’ensemble des éléments de ...
exo7 5272
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que : ...