Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
c) Limite d’une suite réelle
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite finie ou infinie d’une suite. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. |
Unicité de la limite. | Notations $u_n\longrightarrow\ell$, $\lim u_n$. |
Suite convergente, divergente. Toute suite convergente est bornée. | |
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient. Passage à la limite d’une inégalité large. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell>0$, alors $u_n>0$ à partir d’un certain rang. | Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle. |
Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$), par majoration (limite $-\infty$). | Utilisation d’une majoration de la forme $\lvert u_n-\ell\rvert\leqslant v_n$, où $(v_n)$ converge vers 0. |
exo7 4724
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que la suite \((\exp(iu_n))\) ...
exo7 4725
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4726
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée et ...
exo7 4752
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\). On suppose que la suite de matrices : ...
exo7 478
Donner la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de l’ensemble: ...
exo7 4820
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 484
Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite bornée. On pose ...
exo7 4886
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4888
Soient \(A_0,A_1,A_2\) trois points donnés. On considère la suite \((A_k)\) de po ...
exo7 4911
Pour \(p>0\) on donne la courbe \(\Gamma\) d’équation ...
exo7 504
Dessiner les suites suivantes :
exo7 505
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) une suite de \(\R\). Que pensez-vous des propositions sui ...
exo7 506
Montrer que toute suite convergente est bornée.
exo7 507
Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\Nn}\) définie par ...
exo7 508
Étudier la suite \(u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}\), \(a\) et ...
exo7 509
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?
exo7 5094
Montrer que pour tout réel \(x\) non nul, on a : ...
exo7 5098
Trouver la plus grande valeur de \(\sqrt[n]{n}\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 510
Soit \(l\) un nombre réel. Peut-on dire qu’une suite qui vérifie ...
exo7 511
Construire une suite \(u_n=v_nw_n\) (resp. \(v_n+w_n\)) convergente et telle que ...
exo7 512
Vrai ou faux : il existe une suite \((u_n)\) telle que \((u_{n+1}-u_n)\) tend ver ...
exo7 513
Encadrer la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2+k^2}\). Q ...
exo7 514
Que peut-on dire d’une suite qui vérifie \(\lim_{n\to\infty}nu_n=0\) ?
exo7 5144
Calculer les sommes suivantes :
exo7 515
Étant donné \(k\in\mathbb{R}_+\), que peut-on dire d’une suite \((u_n)\) qui véri ...
exo7 5154
Soient \(x\) un réel. Déterminer ...
exo7 517
Soit \(A\) une partie bornée de \(\Rr\) et \(x\) ...
exo7 518
Étudier la convergence des suites :
...
exo7 519
Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang.
exo7 520
Soit \(H_n = 1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac1n\).
exo7 521
Montrer qu’une suite monotone dont une suite extraite converge est convergente.
exo7 5211
Soit \(A=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n,\;n\in\Nn^*\right\}\). Déterminer ...
exo7 5220
Soient \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite réelle et \((v_n)_{n\in\Nn}\) la suite défin ...
exo7 5221
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite réelle. Montrer que si la suite ...
exo7 5225
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5226
Limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
exo7 5227
Etudier la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 523
Etudier la convergence de la suite \(u_n=(-1)^n\dfrac{n+1}{n}\).
exo7 5230
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) les sui ...
exo7 5231
Montrer que les suites définies par la donnée de \(u_0\), \(v_0\) et ...
exo7 5232
Soit \(u\) une suite complexe et \(v\) la suite définie par ...
exo7 5233
Soit \(u\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que si la suite ...
exo7 5234
Soient \(u\) et \(v\) deux suites de réels de ...
exo7 5235
Montrer que si les suites \((u_n^2)\) et \((u_n^3)\) convergent alors ...
exo7 5236
Etudier les deux suites \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) et ...
exo7 524
Soit \(q\) un entier au moins égal à \(2\). Pour tout ...
exo7 5240
On pose \(u_1=1\) et, \(\forall n\in\Nn^*,\;u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\). Montrer qu ...
exo7 5241
Montrer que, pour \(n\geq2\),
...
exo7 5242
Montrer que pour \(x\) réel strictement positif, on a : ...
exo7 5243
Soit \((u_n)=\left(\frac{p_n}{q_n}\right)\) avec \(p_n\in\Zz\) et ...