Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
a) Généralités sur les fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble de définition. | |
Représentation graphique d’une fonction $f$ à valeurs réelles. | Les étudiants doivent savoir déduire de la représentation graphique de $f$ celles de fonctions obtenues par des transformations simples, comme $x\mapsto f(x+a)$ ou $x\mapsto f(ax)$. |
Parité, imparité, périodicité. | Interprétation géométrique de ces propriétés. Utilisation pour la réduction du domaine d’étude. |
Somme, produit, composée. Monotonie (large et stricte). | |
Fonctions majorées, minorées, bornées. | Traduction géométrique de ces propriétés. La fonction $f$ est bornée si et seulement si $\lvert f\rvert$ est majorée. |
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Des composées
On considère les fonctions \(f:x\donne x^2, g:x\donne \sqrt{x}\) et ...
Des domaines de définitions
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes : ...
Des sinus et des $x$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par ...
Domaine de définition et lignes de niveau
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Décomposée
Soit \(f:x\donne \frac{1}{x^2+1}\) et \(g:x\donne \eu{-x^2}\). Déterminer quatre ...
exo7 107
Soit \(f\) une application de \({\Rr}\) dans ...
exo7 120
Soient \(f,g\) deux fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 1228
Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1266
Soit \(g\) la fonction définie par : ...
exo7 1273
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C ^1 .\) Montrer qu ...
exo7 134
Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...
exo7 1843
\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de ...
exo7 185
Soient \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) et \(g : \Rr \rightarrow \Rr\) telles que ...
exo7 2091
Soit \(f\,:\;\R\to\R\) une fonction continue sur \(\R\) et ...
exo7 2324
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...
exo7 2426
On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et ...
exo7 3038
Soit \(f : {\R^2} \to {\R}\) une fonction bornée. On définit les fonctions : ...
exo7 3048
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. On note \(A = \{ x \in {[0,1]}\) tq ...
exo7 3185
Soit \(P \in {\R[X]}\). Existe-t-il \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3845
Soit \(f : \R \to \R\) et \(T > 0\). On suppose que ...
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3869
Trouver toutes les fonctions \(f : {\R} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3874
Soit \(f : \R \to \R\) croissante telle que : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3879
Soit \(f : {\R} \to {\R.}\) On dit que \(f\) est localement croissante si : ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3882
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) non identiquement nulle telle que : ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3890
Soient \(0 < a < b\). Montrer que : ...
exo7 3894
Soit \(a \in \R\). Résoudre : \(\sh a + \sh(a+x) + \sh(a+2x) + \sh(a+3x) = 0\). ...
exo7 3902
Déterminer des primitives des fonctions suivantes :
exo7 3904
Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...
exo7 3933
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable.
exo7 3934
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que la fonction ...
exo7 3976
Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...
exo7 3977
Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3984
Soit \(f : {\R^+} \to {\R}\) convexe et bornée. Montrer que \(f\) est décroissant ...
exo7 4050
Soit \(f : {[-1,+\infty[} \to {[-e^{-1},+\infty[}, x \mapsto {xe^x.}\) Montrer que ...
exo7 4139
Sur quelle partie \(D\) de \(\R^3\) la fonction ...
exo7 4240
Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).
exo7 4241
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\), \(K\)-lipchitzienne.
Montrer que ...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4410
Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...
exo7 4528
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).