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Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\).

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...

\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...

Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?

Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que : ...

Soit \(P \in {\cal O}(n)\). A l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : ...

Soit \(G\) un sous groupe compact de \(GL_n(\C)\). Si ...

Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...

\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?

On considère l’endomorphisme de \(\R^3\) de matrice dans la base canonique : ...

Soit \({\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base non orthonormée de \(E\), ...

Soit \(u : E \to E\) telle que : ...

Diagonaliser dans une base orthonormée :

Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...

Soit \(E = \R_n[x]\). On pose pour ...

Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...

Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoints. Montrer que \(u\circ v\) est aut ...

Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint tel que \(\mathrm{tr}(u) = 0\).

Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutan ...

Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques positives. Montrer que ...

Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint et ...

Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(\lambda,\lambda'\) leurs ...

Soit \(A\in M_n(\R)\) telle que \(A^3={}^t\!A A\). ...

Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de  ...

On note \(P\) l’ensemble des fonctions \(f\) polynomiales par morceaux, continues ...

Que peut-on dire de l’adjoint d’un projecteur orthogonal d’un espace euclidien ? Réciproque ?

Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...

Soit \(S\), matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction de \(t\) ...

Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...

Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...

Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...

Pour \(M\in GL_n(\R)\) montrer l’existence de deux matrices orthogonales \(U\) et ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).

Déterminer \(\{M \in {\cal{M}}_n(\R) \text{ tq } M(^tMM)^2=I_n\}\).

Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...

Soient \({\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) de classe ...

On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...

Soit \({\cal C} = {\cal C}(O,r)\) un cercle du plan et \(f\) une application affi ...

Trois figures \(F_1,F_2,F_3\) se déduisent l’une de l’autre par rotations. Montrer qu’il existe une figure ...

Soit \(ABCD\) un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à d ...

Dans un rond on donne les plans \(P : x+y+z = 1\) et \(Q : 2x-y+z=1\). C ...

Soient \(f,g\) deux vissages d’angles \(\ne \pi\). Trouver une CNS pour que ...

Soient \(D_1,D_2,D_3\), trois droites, et \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) les ...

Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier, et \(d_{AB},d_{AC},d_{AD}\) les ...

Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles tels que ...

Déterminer toutes les isométries