Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Structure vectorielle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Description de la structure vectorielle de $\mathbb{K}^n$, règles de calcul. | On fait le lien avec les règles habituelles du calcul sur les vecteurs du plan et de l’espace en géométrie. On pourra faire remarquer que certains ensembles rencontrés dans d’autres chapitres (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire, ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire, ensemble de matrices,…) possèdent eux aussi cette structure vectorielle, sans qu’aucune connaissance relative à la notion générale d’espace vectoriel ne soit requise à ce stade. |
Combinaison linéaire d’une famille finie de vecteurs. Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}^n$. | On entend par sous-espace vectoriel un ensemble de vecteurs stable par combinaison linéaire et contenant le vecteur nul. |
Intersection d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. | |
Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs. Famille génératrice finie d’un sous-espace vectoriel. Famille libre finie, famille liée finie. | On utilise la notation $\mathrm{Vect}(x_1, x_2, \ldots x_k)$. |
Bases d’un sous-espace vectoriel. | On admet l’existence de bases pour tout sous-espace vectoriel autre que l’espace nul. |
Coordonnées d’un vecteur par rapport à une base. | Une interprétation matricielle est ici pertinente, amenant à parler de la matrice colonne associée au vecteur, puis de la matrice d’une famille de vecteurs. |
Base canonique de $\mathbb{K}^n$. | On veillera à ne pas travailler systématiquement dans la base canonique en mettant en évidence l’intérêt, dans certains contextes, de choisir une autre base. |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1000
Pour \(k=2,3,4\) montrer que \(V_{k}\) est un s.e.v. de ...
exo7 1002
Soient ...
exo7 1003
Soient le triplet \({\mathbf v}_1 =(1,2,3,0), {\mathbf v}_2 =(-1,1,2,1), {\mathbf v}_3 =(1,5,8,1)\) et le triplet ...
exo7 1006
Montrer que les vecteurs \(v_1 =(1,-1,i)\), \(v_2=(-1,i,1)\), ...
exo7 1009
Etudier la liberté des familles
exo7 1010
Les familles suivantes sont-elles génératrices ?
exo7 1011
On considère dans \(\Rr^3\), ...
exo7 1013
Déterminer une base de \(D = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y = 0, x-y + z = 0\right\}\).
exo7 1014
Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs ...
exo7 1020
Soient \(E = \left\{ (x, y, z, t) \in \Rr^4 / x + y + z + t = 0\right\}\) et ...
exo7 1055
Soit \(A\in M_2(\R ) .\) On nomme commutant de \(A\) et on note ...
exo7 1057
Montrer que \(F=\{ M\in M_2({\Rr }) ; tr(M)=0\}\) est un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1184
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) des éléments ...
exo7 1185
On considère le système ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 2779
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?
exo7 2780
Soient dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}= (1,1,0)\), ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 3297
On considère les vecteurs de \(K^3\) : \(\vec a = (1, 2, 1)\), ...
exo7 3298
Soient \(F,G,H\) trois sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\). Comparer ...
exo7 3299
Soient \(F,G,F',G'\) des sev d’un ev \(E\).
Montrer que si ...
exo7 3300
Soit \(E\) un \(K\)-ev non nul et ...
exo7 3303
Soit \(E\) un espace vectoriel, \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une famille libre d ...
exo7 3304
Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3323
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3387
Une partie \({\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)\) est appelée idéal à droite de ...
exo7 3422
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3476
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)\) tq ...
exo7 3625
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+y-z\), ...
exo7 3627
Pour \(\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n\) on pose \(f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}\) ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3653
Soient \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) trois sev de ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...