Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Algèbre linéaire 2 – Matrices
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Le but de ce chapitre est de mettre en place le calcul sur les matrices avec ses analogies et différences vis-à-vis du calcul sur les nombres réels et complexes. La mise en pratique de ce calcul peut nécessiter l’usage de l’ordinateur.
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices : définition, vocabulaire. Matrice nulle. Matrices carrées, matrices lignes, colonnes. Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identité. | |
Opérations sur les matrices : somme, produit par un scalaire, produit matriciel. Formule du binôme quand les deux matrices commutent. Propriétés de ces opérations. | Produit de matrices diagonales. |
Transposée d’une matrice $M$, notée $M^T$. Transposée d’une somme, d’un produit de matrices. Matrices carrées symétriques. | |
Écriture matricielle d’un système linéaire. Rang d’une matrice. | On adapte la méthode du pivot qui devient un algorithme opérant sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Le rang d’une matrice est alors défini comme le nombre de pivots. On admet que le rang d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes. On pourra proposer, dès que le cours sur les espaces vectoriels aura été traité, des caractérisations du rang d’une matrice permettant d’éviter le recours systématique à la méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang dans la pratique. |
Matrices carrées inversibles, matrice inverse, inverse d’un produit, inverse de la transposée d’une matrice carrée inversible. Recherche pratique de l’inverse d’une matrice. | L’inversion peut se ramener à la résolution de systèmes linéaires. La description d’un algorithme d’inversion de matrices n’est pas un attendu du programme. |
Déterminant des matrices $2 \times 2$ et caractérisation des matrices $2 \times 2$ inversibles. | Seul le déterminant des matrices $2 \times 2$ est introduit et les formules de Cramer, même dans le cas $2 \times 2$, ne sont pas exigibles. |
Expression matricielle formelle, $X = A^{-1}Y$, de la solution d’un système linéaire $AX = Y$ lorsque la matrice carrée $A$ qui lui est associée est inversible. |
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2772
On considère la matrice ...
exo7 2773
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 2774
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(A\) la matri ...
exo7 2775
Calculer l’inverse de la matrice suivante : ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3359
Soit
...
exo7 3360
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(A\) est centro ...
exo7 3361
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Q)\). Comparer les énoncés :
1: ...
exo7 3362
On note ...
exo7 3365
Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), ...
exo7 3366
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer qu’il existe \(U,V \in GL_n( K)\) telles ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3376
Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3380
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique.
exo7 3381
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans ...
exo7 3382
Soit \({\cal G} \subset \mathcal{M}_n(K)\) tel que pour la multiplication, ...
exo7 3384
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). On dit que \(A\) est positive si tous ses c ...
exo7 3385
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Exprimer en fonction de \(k\) le terme génér ...
exo7 3393
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 2&3&4\cr 3&4&5 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3395
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&0&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1 \cr\end{pmatrix}\). En écrivant ...
exo7 3397
Calculer \(A^k\) pour \(k \in \N\) :
exo7 3398
Inverser les matrices suivantes :
exo7 3399
Soient ...
exo7 3401
Soient ...
exo7 3402
Montrer que ...
exo7 3405
Les matrices ...
exo7 3406
Soit \(A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)\) telle que \(a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}\). Interpr ...
exo7 3407
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}\). ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3425
Résoudre le système : ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3435
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...
exo7 3441
On note \(SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}\).
exo7 3445
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) telle qu’il existe \(a \ne 0\) tel que ...
exo7 3450
Soit \(M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)\) et \(q\in[[1,\min(n,p)]]\).
Pour ...
exo7 3451
Calculer les déterminants suivants :
exo7 3461
Chercher les rangs des matrices suivantes :
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3464
Chercher ...
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...