Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Algèbre linéaire 2 – Matrices
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Le but de ce chapitre est de mettre en place le calcul sur les matrices avec ses analogies et différences vis-à-vis du calcul sur les nombres réels et complexes. La mise en pratique de ce calcul peut nécessiter l’usage de l’ordinateur.
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices : définition, vocabulaire. Matrice nulle. Matrices carrées, matrices lignes, colonnes. Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identité. | |
Opérations sur les matrices : somme, produit par un scalaire, produit matriciel. Formule du binôme quand les deux matrices commutent. Propriétés de ces opérations. | Produit de matrices diagonales. |
Transposée d’une matrice $M$, notée $M^T$. Transposée d’une somme, d’un produit de matrices. Matrices carrées symétriques. | |
Écriture matricielle d’un système linéaire. Rang d’une matrice. | On adapte la méthode du pivot qui devient un algorithme opérant sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Le rang d’une matrice est alors défini comme le nombre de pivots. On admet que le rang d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes. On pourra proposer, dès que le cours sur les espaces vectoriels aura été traité, des caractérisations du rang d’une matrice permettant d’éviter le recours systématique à la méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang dans la pratique. |
Matrices carrées inversibles, matrice inverse, inverse d’un produit, inverse de la transposée d’une matrice carrée inversible. Recherche pratique de l’inverse d’une matrice. | L’inversion peut se ramener à la résolution de systèmes linéaires. La description d’un algorithme d’inversion de matrices n’est pas un attendu du programme. |
Déterminant des matrices $2 \times 2$ et caractérisation des matrices $2 \times 2$ inversibles. | Seul le déterminant des matrices $2 \times 2$ est introduit et les formules de Cramer, même dans le cas $2 \times 2$, ne sont pas exigibles. |
Expression matricielle formelle, $X = A^{-1}Y$, de la solution d’un système linéaire $AX = Y$ lorsque la matrice carrée $A$ qui lui est associée est inversible. |
exo7 3727
Soit \({f_1,\dots,f_n} : I \to \R\) des fonctions continues de carrés intégrables sur l’intervalle ...
exo7 3728
Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...
exo7 3729
Soit \(S\) une matrice carrée d’ordre \(n\), à coefficients réels, symétrique déf ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3753
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que : ...
exo7 3762
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). On suppose \({}^tA = A\) et ...
exo7 3763
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Montrer que \(\text{com}\,M\) est au ...
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3777
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que \(A\) est symétrique définie positi ...
exo7 3778
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Pour \(1 \le p \le n\), on note ...
exo7 3786
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques définies positives. Montrer que ...
exo7 3798
Soit \(A\in M_n(\R)\) telle que \(A^3={}^t\!A A\). ...
exo7 3805
Soit \(A\) matrice réelle ; montrer que \(A\) est diagonalisable ssi il existe ...
exo7 3807
Soient \(X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) indépendantes, \(a \in \R\) et ...
exo7 3808
Soit \(J = \begin{pmatrix}I_n&0\cr0&-I_p\cr\end{pmatrix}\), et ...
exo7 3809
Soit ...
exo7 3812
Soit \(S\), matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction de \(t\) ...
exo7 3813
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...
exo7 3814
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que pour tout \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)\) ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3830
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique définie positive.
exo7 4583
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...
exo7 4749
Soit \(B\) une matrice antisymétrique. On suppose que la suite ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 4752
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\). On suppose que la suite de matrices : ...
exo7 4753
Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que la suite \((A^k)\) converge vers une ma ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4764
Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 5257
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5262
Soit ...
exo7 5263
Montrer que ...
exo7 5264
Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
exo7 5266
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles que ...
exo7 5267
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) \((n\geq2)\) définie par
...
exo7 5268
Déterminer le centre de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\), c’est à dire l’ensemble des éléments de ...
exo7 5269
Déterminer le rang des matrices suivantes :
...
exo7 5272
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que : ...
exo7 5274
Soit \(\omega=e^{2i\pi/n}\), \((n\geq 2)\). Soit ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5276
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}\) définie par \(a_{i,j}=0\) si ...
exo7 5277
On pose \(u_0=1\), \(v_0=0\), puis, pour ...
exo7 5359
\(\sigma\) étant une permutation de \(\{1,...,n\}\) donnée, on définit la matrice ...
exo7 5360
\(A_1\), \(A_2\),..., ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5370
Déterminer les matrices \(A\), carrées d’ordre \(n\), telles que pour toute matri ...
exo7 5371
Soit ...
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...