Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Racines et factorisation.
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Racines réelles (ou zéros réels) d’un polynôme. Un nombre réel $\alpha \in \mathbb{R}$ est racine d’un polynôme $P$ si et seulement s’il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. | La division euclidienne des polynômes ainsi que la factorisation des polynômes réels en produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$ sont hors programme. |
Généralisation à plusieurs racines distinctes. Le nombre de racines distinctes d’un polynôme non nul est majoré par son degré. Tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle. Un polynôme de degré $n \in \mathbb{N}^*$ possédant $n$ racines distinctes s’écrit sous la forme $P : x \mapsto a_n(x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_n)$. | On pourra illustrer avec des exemples de polynômes réels sans racines réelles, ou à l’opposé de polynômes totalement décomposés sur $\mathbb{R}$. |
Calcul de reste de division euclidienne
Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par ...
Divisibilité et racines
Soit \(n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}\). Montrer que ...
Décomposition d'une fraction rationnelle
Soit le polynôme \(P \in \R[X]\) défini par : \[P(X) = (X^{2}+1)^2-X^2.\]
Décomposition en élément simple et racine
Considérons les deux fractions rationnelles \(P\) et \(Q\) suivantes: ...
Déterminant de Vandermonde
On cherche à calculer le déterminant suivant, dit de Vandermonde : ...
exo7 103
Montrer que si \(x+y+z=a\), \(yz+zx+xy=b\), ...
exo7 1129
Calculer le déterminant ...
exo7 1229
Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...
exo7 1236
Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 2263
Soit \(f(x)\in A[x]\) un polynôme sur un anneau \(A\). Supposons que ...
exo7 2278
Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...
exo7 2471
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 3149
Déterminer \(x \in \Q\) sachant que :
exo7 3205
Soit \(P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1\).
exo7 3220
Factoriser \(P(X) = 3X^4 + 11X^3 + 20X^2 + 7X - 5\), sachant qu’il existe des racines rationnelles.
exo7 3222
Factoriser \(P = X^5 - 13X^4 + 67X^3 - 171X^2 + 216X - 108\) sachant qu’il admet une racine triple.
exo7 3226
Factoriser ...
exo7 3235
Soit \(P \in {\Z[X]}\) tel que \(P(x) = 7\) pour au moins 4 valeurs distinctes ...
exo7 3238
Montrer que \(x = 2\cos\frac {2\pi}7\) est racine de \(X^3 + X^2 - 2X - 1\). Quel ...
exo7 3239
Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.
exo7 3259
Résoudre dans \(\C\) le système : ...
exo7 3528
On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3565
Le polynôme \(X^{4}+X^{3}+2X^{2}+X+1\) peut-il être le polynôme minimal d’u ...
exo7 3652
Soit \(E = K_3[X]\), \(F = \{ P \in E\) tq ...
exo7 3954
Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 402
Pour tout \(a\in\Rr\) et tout \(n\in\Nn^*\), démontrer que ...
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 438
Soit \(P\in {\Rr}[X]\) un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer que ...
exo7 457
Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...
exo7 5073
On veut calculer \(S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ\).
exo7 5315
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)\). (Indication. Poser ...
exo7 5332
Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).
exo7 5412
Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 545
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...
exo7 5485
Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 6531
Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...
exo7 6551
Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 7209
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(z^2+\overline{z}-1=0\).