Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Analyse 1– Suites réelles usuelles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Le but de ce chapitre est d’étendre un peu l’ensemble des suites « connues » et de développer les aptitudes au calcul sur ces suites ; le point de vue est ici algébrique.
On ne travaille ici qu’avec des suites réelles.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme, produit, quotient de suites réelles. | |
Suites arithmétiques, suites géométriques. Terme général. | |
Suites arithmético-géométriques. | La formule donnant le terme général n’est pas au programme. On cherchera une suite constante solution pour déterminer toutes les solutions. |
Suites vérifiant une relation du type $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$. | On se limite à la maitrise d’une méthode de calcul du $n$-ième terme à partir de l’équation caractéristique. Au besoin, on transite par $\mathbb{C}$ dans le seul but de restituer plus rapidement la forme des solutions. ⇌ On pourra illustrer ces différents types de suites avec des modèles discrets de populations. ⇌ Algorithme de calcul du $n$-ième terme. |
Calculs
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\).
-
...
Exercice bilan I
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout ...
Exercice bilan I
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel par \(u_0=2\) et ...
Exercice bilan II
On considère les suites \(u\) et \(v\) définies par ...
Exercice bilan II
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout entier ...
Exercice bilan III
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par ...
Exercice bilan IV
Soit \(u\) la suite vérifiant la relation ...
exo7 1193
Soient \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par ...
exo7 1202
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0\) et \(u_1\) st ...
exo7 1203
Déterminer \((u_n)\) telle que
exo7 1204
Déterminer les suites bornées qui vérifient \(u_{n + 2} = 3u_{n + 1}-2u_n\).
exo7 1205
Déterminer les suites convergentes qui vérifient \(2u_{n + 2} = 7u_{n + 1}-3u_n\).
exo7 1206
Montrer que la suite \(u_0 = 1\), \(u_1 = 2\) et ...
exo7 1207
Déterminer les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) qui vérifient ...
exo7 164
On considère une suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telle que : ...
exo7 1708
Déterminer toutes les suites \((u_{n})_{n\in\N}\) à valeur complexes telles que : ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 2083
Calculer l’intégrale de \(f:[a,b]\rightarrow \R\) comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants: ...
exo7 2656
Indiquer pour quelles valeurs de \(\alpha \in\R\) la série ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 3057
On note \(a_n = 25^n + 2^{3n+4}\).
exo7 3068
Résoudre ...
exo7 3069
Résoudre : \[\begin{cases} u_{n+2} - u_n = n-1 \cr u_0 = u_1 = 0.\end{cases}\]
exo7 3070
On donne \(u_0,v_0\). Résoudre le système : ...
exo7 3071
Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivé ...
exo7 3072
Soit \(T_n\) le nombre d’entiers naturels de \(n\) chiffres exactement ne comport ...
exo7 3073
On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3909
Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4436
Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...
exo7 4438
Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...
exo7 4464
Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...
exo7 4471
Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...
exo7 4476
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...
exo7 4484
On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4582
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : ...
exo7 4709
Soient \(a,b \in \R^*\). On définit la suite \((u_n)\) par : ...
exo7 4711
Étudier la convergence des suites \((x_n)\), \((y_n)\) dé ...
exo7 4887
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4888
Soient \(A_0,A_1,A_2\) trois points donnés. On considère la suite \((A_k)\) de po ...
exo7 4911
Pour \(p>0\) on donne la courbe \(\Gamma\) d’équation ...
exo7 5142
Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.
exo7 5144
Calculer les sommes suivantes :
exo7 515
Étant donné \(k\in\mathbb{R}_+\), que peut-on dire d’une suite \((u_n)\) qui véri ...
exo7 5223
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 5228
Déterminer \(u_n\) en fonction de \(n\) quand la suite ...
exo7 5229
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) les suites définies par la donnée de ...