Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Généralités sur les systèmes linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Équation linéaire à $p$ inconnues. Système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues $x_1, \ldots, x_p$. | |
Système linéaire homogène. | |
Système compatible, système incompatible, système de Cramer. | Tout système linéaire homogène est compatible. |
Opérations élémentaires sur les lignes d’un système linéaire : • échange des lignes $L_i$ et $L_j$, • ajout de $\lambda L_j$ à $L_i$, • multiplication de $L_i$ par $\lambda \neq 0$. | On emploiera les notations suivantes : $L_i \leftrightarrow L_j$, $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$, $L_i \leftarrow \lambda L_i$. |
Deux systèmes sont dits équivalents si on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions. |
exo7 1163
Résoudre les systèmes suivants ...
exo7 1164
Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solution : ...
exo7 1165
Soient \(x_0\),\(x_1\),...,\(x_n\), ...
exo7 1166
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 1167
Écrire les conditions, portant sur les réels \(a\), \(b\), ...
exo7 1168
Résoudre et discuter suivant les valeurs de \(b_1\), \(b_2\), ...
exo7 1169
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\), \(a\), ...
exo7 1170
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\) et \(a\) : ...
exo7 1171
Mettre sous forme matricielle et résoudre les systèmes suivants.
exo7 1173
Résoudre et discuter le système linéaire suivant : ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1176
Déterminer le noyau de la matrice \(\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\2&3&7 \end{pmatrix}\) ...
exo7 1178
Trouver les solutions de ...
exo7 1179
Résoudre suivant les valeurs de \(a \in \Rr\) ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1181
Inverser en utilisant un système linéaire la matrice ...
exo7 1182
Résoudre \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}\).
exo7 1183
Résoudre \(\begin{cases} -cy + bz = \alpha \\ cx-az = \beta \\ -bx + ay = \gamma \end{cases}\).
exo7 1185
On considère le système ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1192
Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système suivant, en fonction de \(\alpha,a,b\) et ...
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 1975
Soient \((D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}\) trois droites du plan affine. Montrer qu’elles s ...
exo7 2220
Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&10^{-6} \end{array}\right)\)
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 2463
Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles le système suivant admet des solutions différentes de ...
exo7 2464
Soit \(a, b\) deux réels différents. Montrer que le système linéaire ...
exo7 2478
Résoudre ...
exo7 2731
Décider, pour chacun des systèmes d’équations aux inconnues \(x_1\), \(x_2\), ...
exo7 2732
En appliquant l’algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant : ...
exo7 2733
Résoudre le système : ...
exo7 2734
Résoudre le système : ...
exo7 2735
Soit \(a\) un nombre réel. On étudie le système linéaire suivant : ...
exo7 2736
Les vecteurs complexes \((z, w)\) et \((z', w')\) sont liés par la formul ...
exo7 2737
Un cycliste s’entraîne chaque dimanche en faisant l’aller-retour d’Issy à Labat. Le trajet Issy-Labat n’est pas horizontal : il y a des montées, de ...
exo7 2738
Soient \(a\), \(b\), et \(c\) trois nombres réel ...
exo7 2739
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 2760
En utilisant le déterminant montrer que chacun des systèmes suivants admet une solution unique. Résoudre chacun de ces système en inversant la matr ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2769
Résoudre le système suivant de \(5\) équations à \(6\) inconnues : ...
exo7 3070
On donne \(u_0,v_0\). Résoudre le système : ...
exo7 3289
Soient \(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\), et \(c\) des scalaires distincts. On ...
exo7 3393
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 2&3&4\cr 3&4&5 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3394
Soient \(A = \begin{pmatrix}-2&1&1 \cr 8&1&-5 \cr 4&3&-3 \cr\end{pmatrix}\) et ...
exo7 3408
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3409
Étudier l’existence de solutions du système :
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