Programme de mathématiques MP, MPI
b) Solutions d’une équation différentielle linéaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de Cauchy linéaire : existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. | La démonstration n’est pas exigible. Adaptation aux systèmes différentiels linéaires. |
Cas des équations scalaires d’ordre $n$. Cas des équations homogènes : l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}(I,E)$. Pour $t_0$ dans $I$, l’application $x\mapsto x(t_0)$ est un isomorphisme de cet espace sur $E$. Dimension de l’espace des solutions. Cas des équations scalaires homogènes d’ordre $n$. Structure de l’ensemble des solutions d’une équation avec second membre. | |
Exemples d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2 non normalisées : $a(t)\,x'+b(t)\,x=c(t),\quad a(t)\,x''+b(t)\,x'+c(t)\,x=d(t).$ | Exemples de recherche de solutions développables en série entière. |
exo7 1704
Résoudre les systèmes différentiels suivants ...
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 2561
Soit l’équation différentielle \[x'''-xx''=0\] où \(x\) est ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 4058
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 4059
Soit \(k \in \R\). Résoudre ...
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4062
Résoudre \((E) : 4xy''+2y'+y=0\) sachant que \((E)\) admet deux solut ...
exo7 4064
\(x,y,z\) sont des fonctions de \(t\). Résoudre les systèmes :
exo7 4065
Résoudre le système différentiel suivant : ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4068
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que : ...
exo7 4069
On considère l’équation différentielle : \((*) \iff y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0\).
exo7 4075
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' = a(x)y + b(x)\) et \(x_0\) un réel ...
exo7 4076
Soit \(\lambda \in \C\) et \(\varphi : \R \to \C\) ...
exo7 4084
Soit l’équation différentielle : \((E)\Leftrightarrow u''(x) + (k-2d\cos(x))u(x)= 0\).
exo7 4086
On considère l’équation différentielle : \(-y'' + \frac y{p^2} = f\) où ...
exo7 4092
Soit \({a,b} : \R \to \R\) continues telles que : \(\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1\) ...
exo7 4093
Soit \(a : \R \to {\R^{+*}}\) une fonction continue.
exo7 4094
Soit \(a : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) croissante strict ...
exo7 4096
Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur ...
exo7 4097
On considère l’équation \((*) \iff y'' + a(t)y' + b(t)y = 0\), avec ...
exo7 4098
Soit \(\lambda > 0\) et \(y\) une solution de ...
exo7 4099
Soit \(y : \R \to \R\) une solution non identiquement nulle de ...
exo7 4100
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues avec \(f\) positive. Montrer qu’il ex ...
exo7 4101
Soient \({p,q} : \R \to \R\) continues avec : ...
exo7 4102
Soit \(A : {\R^+} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, t \mapsto {(a_{ij}(t))}\) continue avec : ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4105
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4106
On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur \(\R\) : ...
exo7 4107
Soit \(A\) coninue de \(\mathcal{M}_n(\R)\) dans lui-même. On suppose que les ...
exo7 4108
Soit une application \(A\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4117
\(y'' = \sin y\), \(y(0) = \frac\pi2\), ...
exo7 4118
Existe-t-il des solutions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\) de l’équation di ...
exo7 4120
Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).
exo7 4124
On considère l’équation : \(y' = 2ty + y^2,\ y(t_0) = y_0\). Soit \(y\) une s ...
exo7 4128
\(\begin{cases} y'' + \sin y = 0 \cr y(0) = 0,\ y'(0) = \alpha \ge 0.\cr\end{cases}\)
Soit ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4135
On considère le système différentiel : ...
exo7 4597
Montrer que l’équation \(3xy' + (2-5x)y = x\) admet une solution développable en série entière autour de ...
exo7 4660
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 4661
Soit \(k \in \R\). Résoudre l’équation différentielle ...
exo7 5880
Soit \(A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\). Montrer que pour toute solution de ...
exo7 5881
Résoudre les systèmes :
exo7 5882
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6316
On considère l’équation différentielle \[(E)\qquad y''+y'+y=0\]
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...