Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Matrices semblables et trace
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices semblables. | Interprétation géométrique. Exemples de recherche d’une matrice simple semblable à une matrice donnée. |
Trace d’une matrice carrée. Linéarité de la trace, relation $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, invariance par similitude. | Notation $\operatorname{tr}(A)$. |
Trace d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie. Linéarité, relation $\operatorname{tr}(uv) = \operatorname{tr}(vu)$. | Notation $\operatorname{tr}(u)$. Trace d’un projecteur. |
exo7 3405
Les matrices ...
exo7 3433
Soit \(n\ge 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3438
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\), ...
exo7 3469
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) de rang 1. Montrer que \(A\) est une matrice de p ...
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3507
Soit ...
exo7 3517
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). L’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 3524
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3538
Soit l’application \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\R)} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, M \mapsto {^tM.}\) Calculer sa trace par ...
exo7 3540
Soit \(p\) premier et \(A\in\mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3553
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A^n = I\) et ...
exo7 3559
Soit \(M \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) telle que \(M \ne I\), et ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3577
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) semblables sur \(\C\) : Il existe ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3582
Montrer qu’une matrice compagnon est semblable à sa transposée. En déduire que pour toute \(M\in\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3593
Soit ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3595
Si \(A\in M_n(\C)\), on note \(C(A)\) le commutant de ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 3641
Soit \(E = \mathcal{M}_n(K)\). Pour \(A \in \mathcal{M}_n(K)\), on note ...
exo7 3658
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3697
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3740
On définit l’application \(\varphi : A\in\mathcal{M}_n(\R) \mapsto \sum_{i,j}a_{i,j}^2\). Trouvez les matrices ...
exo7 3751
\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3785
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques positives. Montrer que ...
exo7 3805
Soit \(A\) matrice réelle ; montrer que \(A\) est diagonalisable ssi il existe ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3814
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que pour tout \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)\) ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 5264
Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
exo7 5482
Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5594
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL_n(\Rr)\) te ...
exo7 5595
Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL(E)\) avec ...
exo7 5596
Soient \(A_1\),..., \(A_p\) \(p\) matrices disti ...
exo7 5605
Soient \(n\) un entier naturel non nul puis \(A\in\mathcal{M}_n(\Kk)\). Soit ...
exo7 5606
Soient \(a\) un réel non nul et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 5618
Existe-t-il deux matrices carrées \(A\) et \(B\) telles que ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5624
Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
...exo7 5625
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées de format ...