Parcourir les exercices

Diagonaliser les matrices suivantes :

Chercher les valeurs propres des matrices :

Soit ...

Soit ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que la somme des coefficients par ligne est constante ( ...

Soit ...

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(\lambda \in K\) une valeur propre de ...

Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...

Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B = A^{-1}\), ...

Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :

(a) : ...

Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).

Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...

Soit ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).

Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...

Soit \(E\) un espace euclidien, \({\cal B} = (\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) une base ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). Montrer que \(\det(^tAA) \ge 0\).

Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...

Soit \(S\) une matrice carrée d’ordre \(n\), à coefficients réels, symétrique déf ...

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...

Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?

Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que : ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que \(A\) est symétrique définie positi ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Pour \(1 \le p \le n\), on note ...

Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques définies positives. Montrer que ...

Soit \(S\), matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction de \(t\) ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique définie positive.

Soit \(f : \R \to \R\) convexe et \(x < y < z\). Montrer que ...

Soit \(f:\R \to \R\) trois fois dérivable en \(a\). Étudier ...

Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(\sigma_1,\dots,\sigma_n)}\)

où ...

Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}\)

Montrer que ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...

Soient \(I,J,K\) trois points du plan. Montrer l’équivalence entre les trois propriétés :

a) ...

Soit \((A,B,C)\) une base affine de \({\cal E}_2\), et ...

Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...

Montrer que tout hyperplan de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\) \((n\geq 2)\) contient au mo ...

Montrer que ...

Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...

Calculer :

Soit \(A=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\) où \(a_1\),..., ...

Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) où, pour tout \(i\) et tout ...

Résoudre le système \(MX=U\) où ...

Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...

Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) et \(B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) avec ...

Déterminer les matrices \(A\), carrées d’ordre \(n\), telles que pour toute matri ...