Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires ;
- présenter quelques notions de géométrie affine, afin d’interpréter géométriquement certaines situations.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général ; on en tirera parti par de nombreuses figures.
Le corps $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
- A - Espaces vectoriels 295
- B - Espaces de dimension finie 146
- C - Applications linéaires 533
- D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel 222
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1698
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1699
Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1725
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1875
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1957
Les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de ...
exo7 1958
Dans l’exercice suivant, on considère des couples de deux droites \(D_1\) et ...
exo7 1959
On considère les deux droites du plan \(D : 2x-3y+4 = 0\) et ...
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 1961
On considère dans \(P\) trois points \(A\), ...
exo7 1963
Soient \((A_1,A_2,A_3)\) et \((B_1,B_2,B_3)\) deux systèmes de trois points align ...
exo7 1968
Un cône d’un espace vectoriel est une partie \(K\) telle que : ...
exo7 1970
Soit \(E\) un espace affine de dimension \(n,\) et ...
exo7 1971
Une bimédiane d’un tétraèdre est une droite qui passe par les milieux de deux arêtes opposées. Montrer que les trois bimédianes sont concourantes. ...
exo7 1972
Soient \(A, B, C\) trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points ayant mêmes coordon ...
exo7 1973
Soit \(R_{1} = (0, e_{1}, e_{2}, e_{3})\) un repère cartésien d’un espace affine. Soient ...
exo7 1974
Soient \((D_{i})_{i = 1 \ldots 4}\) quatre droites du plan affine sécantes deux à deux en six points distincts. Si ...
exo7 1975
Soient \((D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}\) trois droites du plan affine. Montrer qu’elles s ...
exo7 1976
Soient \(A, B, C\) trois points non alignés d’un plan affine.
exo7 1977
Soit \(E\) un espace affine et f une application affine de \(E\) dans ...
exo7 1978
Soient \(f\) et \(g\) deux applications affines de ...
exo7 1979
Reconnaître les application affines de \(\Rr^{3}\) suivantes : ...
exo7 1980
Soit \(E\) un espace affine, \(f\) une application affine de ...
exo7 1981
Soit \(E\) un espace affine et \(f\) une application affine de ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 1989
Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...
exo7 1992
On considère la famille des droites \(D_{\lambda} : x + \lambda y + 1 =0\), où ...
exo7 1993
On considère les trois points de \(P\) : \(A(2,-3)\), ...
exo7 1995
Soit \((0, \vec{i}, \vec{j})\) un repère du plan. Déterminer l’expression analytique dans ce repère de la réflexio ...
exo7 1996
Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...
exo7 1999
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2000
Soient \(A, B, C\) les sommets d’un triangle équilatéral de coté \(1\). Détermine ...
exo7 2001
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2008
Soit \(ABCD\) un carré direct et \(M\) un point de la droite ...
exo7 2010
Les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2012
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite ...
exo7 2013
Quelle est la nature de l’intersection des trois plans suivants? Si c’est un point en donner les coordonnées, si c’est une droite en donner un vect ...
exo7 2014
Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles sont sécantes donner leur point d’intersection et si elles sont ...
exo7 2015
Dans chacun des cas suivants dire si la droite \((D)\) et le plan \((P)\) sont pa ...
exo7 2016
On considère les cinq points suivants: \(A(1,2,-1)\), \(B(3,2,0)\), ...
exo7 2017
Soient \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\) trois droites ...