Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 664
Soit \(f\in C({\Rr}^{+},{\Rr})\) admettant une limite finie en \(+\infty\), montr ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 666
Soit \((f,g)\in C([0,1],[0,1])^{2},\) tel que : \(fg=gf.\) On veut montrer que ...
exo7 667
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, telle que \(f(0)=f(1).\) Montrer que ...
exo7 668
Soit \(f\) continue de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\), ...
exo7 669
Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que ...
exo7 670
Soit \(f : \R\setminus\{1/3\}\rightarrow \R\) telle que ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 672
Etudier la continuité de \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 673
Soit la fonction réelle définie par \(f(x)=1\) si \(x\in\Q\) et ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 674
On admet que pour tout \(x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .\)
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 675
Etudier la continuité sur \(\mathbb{R}\) des fonctions suivantes :
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 677
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur \(\R\) ? ...
exo7 678
Étudier la continuité sur \(\Rr\) des fonctions suivantes :
exo7 679
Etudier la continuité de
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 680
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que pour chaque ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...
exo7 681
La fonction \(\dfrac 1x\) est-elle lipschitzienne sur \(]0, + \infty[\) ? sur ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...
exo7 683
Étudier la continuité des fonctions suivantes :
exo7 6832
Soit \(U\) un ouvert de \(\Rr^n\) et ...
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 687
Montrer que l’équation \(x^7-3\,x^2+4\,x-1=0\) admet au moins une solution dans l’intervalle ...
exo7 688
Soient \(n \in \N^*\) et \(d \in \R^+\). Démontrer en utilisant le théorème des v ...
exo7 691
Soit la fonction \(f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R\), définie par ...
exo7 695
On dit qu’un ensemble \(A\) de fonctions définies sur un intervalle \(I=[a,b]\) d ...
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6975
Simplifier l’expression \(\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}\) et donner ses limites en ...
exo7 698
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : ...
exo7 6981
Représenter les courbes d’équation cartésienne \(y=f(x)\), donner l’équation de leur tangente au point d’abscisse ...
exo7 699
Déterminer \(a,b \in \Rr\) de manière à ce que la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 700
Soit \(f : \Rr^* \longrightarrow \Rr\) définie par ...
exo7 702
Calculer les dérivées d’ordre \(n\) des fonctions : ...
exo7 703
Étant données \(u\) et \(v\) des fonctions dérivables à l’ordre ...
exo7 704
Etudier la dérivabilité sur \(\mathbb{R}\) des applications suivantes : ...
exo7 706
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
exo7 707
Prolonger par continuité en \(0\) et étudier la dérivabilté de
exo7 708
Soit ...
exo7 709
Soit \(f (x) = \exp (-\frac 1{x^2})\) si \(x \neq 0\) et ...
exo7 711
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 713
La fonction \(x\rightarrow \cos \sqrt{x}\) est-elle dérivable en \(0\) ?
exo7 714
En quels points la fonction \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 716
Etudier la fonction \(f: x\mapsto x^5-5x+1\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire que ...