Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres réels et suites numériques
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L’objectif de cette section est de donner une base solide à l’étude des suites réelles. On insiste sur le caractère fondamental de la propriété de la borne supérieure.
Dans l’étude des suites, on distingue nettement les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence).
- a) Ensembles de nombres usuels 142
- b) Propriété de la borne supérieure 74
- c) Généralités sur les suites réelles 112
- d) Limite d’une suite réelle 324
- e) Suites monotones 64
- f) Suites extraites 34
- g) Traduction séquentielle de certaines propriétés 27
- h) Suites complexes 11
- i) Suites particulières 126
exo7 451
Démontrer que si \(r \in \Q\) et \(x \notin \Q\) alors ...
exo7 4512
Soit \(f : {[-1,1]} \to {[-1,1]}\) une fonction continue vérifiant : ...
exo7 4513
On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}\), pour ...
exo7 4514
On définit une suite de fonctions \({f_n} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) par récurrence : ...
exo7 4519
Soient \({f_n} : D \to \R\) des fonctions continues convergeant vers une fonction continue ...
exo7 452
Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ?
\(a=1/3\),
...
exo7 4529
Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...
exo7 453
Dans le plan \(xOy\), on porte sur \(Ox\) une suite de points ...
exo7 454
Calculer avec une calculette : ...
exo7 4548
Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que ...
exo7 4549
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to[c,d]\) continues, bijectives, st ...
exo7 455
On considère les nombres rationnels inférieurs à \(\sqrt{2}\). Y a-t-il un nombre rationnel juste avant ...
exo7 456
Soient \(a\) et \(b\) deux rationnels positifs tels que ...
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 458
Trouver sous la forme \(\frac{p}{q}\) des rationnels \(x\) dont les dévelopements ...
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4588
Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...
exo7 459
Soit \(N_n = 0,1997\,1997\ldots 1997\) (\(n\) fois). Mettre ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 460
Montrer que l’ensemble \(\{r^3\ ;\ r\in \Q\}\) est dense dans \(\R\).
exo7 461
Montrer que \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel.
exo7 4616
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...
exo7 4619
Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...
exo7 462
Soit \(a\in \Rr\), montrer : ...
exo7 463
Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques : \[\left\{ \frac{a}{2^{k}},(a,k)\in \Zz\times \Nn\right\}\] est den ...
exo7 464
Le maximum de deux nombres \(x,y\) (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté ...
exo7 465
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : ...
exo7 466
Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément ...
exo7 4668
Soit \((u_n)\) une suite réelle convergeant vers \(\ell \in \R\). La ...
exo7 4669
Comparer \(\lim_{n\to\infty} \left( \lim_{k\to\infty} \frac{n^k}{(n+1)^k} \right)\) et ...
exo7 467
Soit \[I = \left\lbrace x \in \Rr \ | -2 < x +\frac{1}{2x} \le 2 \right\rbrace.\]
exo7 4670
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4671
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites vérifiant : ...
exo7 4672
On pose \(u_n = \frac {96\times(-1)^n}{(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}\) et ...
exo7 4673
Montrer que l’ensemble des entiers \(n\) tels que \(2^{n^2} < (4n)!\) est fini ...
exo7 4674
Démontrer, sans utiliser la fonction \(\ln\), que ...
exo7 4675
Soient \((a_n)\), \((b_n)\) deux suites strictement positives telles que : ...
exo7 4676
Soit \(x\in\R\). Chercher ...
exo7 4677
Soit \(\theta \in \R\). Montrer que si ...
exo7 4678
Soit \(u_n = 1 + \frac1{\sqrt2} + \dots + \frac1{\sqrt n}\).
exo7 4679
On pose \(u_n = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \dots + \frac 1{n!}\).
exo7 468
Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une borne inférieure, un plus petit élément, dans ...
exo7 4680
On pose ...
exo7 4681
Soit \(a \in \C\setminus \mathbb{U}\). Étudier la suite de terme général : ...
exo7 4682
Soit \((u_n)\) une suite réelle. On pose ...
exo7 4683
Soit \((b_n)\) une suite réelle strictement croissante tendant vers ...
exo7 4684
Soit \((u_n)\) une suite réelle convergente, et ...
exo7 4685
Soient \((a_n)\), \((b_n)\) deux suites convergeant vers ...
exo7 4686
Soit \((x_n)\) une suite réelle et \(\alpha \in\, ]0,1[\). On pose ...
exo7 4687
Soit \((x_n)\) une suite bornée telle que ...