Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 2266
Trouver tous les polynômes irréductibles de degré \(2\), \(3\) à coefficients dan ...
exo7 2267
En utilisant les réductions \(\!\mod 2\) ou \(\!\mod 3\) montrer que les polynôme ...
exo7 2268
Soient \[f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)-1,\quad g(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\dots (x-a_n)^2+1\] où ...
exo7 2269
Soient \(f,g\in \Qq[x]\). Supposons que \(f\) soit ...
exo7 2271
Trouver le \(\pgcd(x^n-1,\ x^m-1)\) dans \(\Zz[x]\).
exo7 2272
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_2[x]\) et sa représentation linéaire ...
exo7 2273
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_3[x]\) et ...
exo7 2274
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz[x]\) de ...
exo7 2276
Soient \(A=\Zz [\sqrt{-3}]\) et \(K\) son corps de fractions. Montrer que ...
exo7 2277
Soit \(P\in \Zz[x]\).
exo7 2278
Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...
exo7 2279
Soient \(P\in \Zz[x]\), \(n\in \Nn\), \(m=P(n)\) ...
exo7 228
En utilisant la formule du binôme montrer : ...
exo7 2280
Dans le cours nous avons déjà montré que le produit de polynômes primitifs est aussi primitif et que ...
exo7 2296
Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo ...
exo7 2299
Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors ...
exo7 2307
Trouver les facteurs multiples des polynômes suivants :
exo7 2308
Trouver le polynôme \(f\in \Zz[x]\) du dergé le plus petit tel que ...
exo7 2311
Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).
exo7 2320
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2429
Soit \(E = \R[X]_n\) (polynômes de degré \(\le n\)), et ...
exo7 2457
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\), ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2471
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...
exo7 2478
Résoudre ...
exo7 2506
Soit \(E^n\) l’espace des polynômes de degré \(\leq n\). Etudier la différentiabi ...
exo7 2568
Soit \[A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\] Démontrer que ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2587
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\), montrer que ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2695
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2=2px, p>0\).
exo7 2876
Établir la convergence et évaluer les produits infinis suivants: ...
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 2931
Trouver \(a,b,c \in \mathbb{U}\) tels que ...
exo7 2941
Soient \(n,p \in \N^*\) et \(\mathbb{U}_n\) le groupe des racines ...
exo7 2946
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 - (5-14i)z^2 -2(5i+12) = 0\).
exo7 2947
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 + 6z^3 + 9z^2 + 100 = 0\).
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...
exo7 3071
Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivé ...
exo7 3149
Déterminer \(x \in \Q\) sachant que :
exo7 3162
Soit \(p\) un nombre premier impair.
exo7 3164
Soit \(a,b \in K,\ a \ne b\). On pose \(P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}\). Dé ...
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3166
Soient \(U,V \in K[X]\) non constants. On pose \(P_k = U^kV^{n-k}\). Montrer que ...
exo7 3171
Soit \(P \in { K[X]}\). Démontrer que \(P-X\) divise ...
exo7 3174
Soient \(A,B,C,D \in {\R[X]}\) tels que : ...
exo7 3175
Soit \(P \in {\Z[X]},\ n \in \Z\), et \(p = P(n)\). Montrer que ...