Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 369
Pour \(n\in \mathbb{N}\), montrer que le polynôme \((X-1)^{n+2}+X^{2n+1}\) est di ...
exo7 370
Chercher tous les polynômes \(P\) tels que \(P+1\) soit divisible par ...
exo7 372
Déterminer \(a\) et \(b\) dans \(\Rr\) tels que ...
exo7 373
Déterminer le reste de la division euclidienne de \((\sin a X + \cos a)^n\) par ...
exo7 374
Soit \(P\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par \(X-1\) est ...
exo7 375
Effectuer la division euclidienne de \(X^5-7X^4-X^2-9X + 9\) par \(X^2-5X + 4\). ...
exo7 376
Soit \(n \geq 1\). Déterminer le reste de la division euclidienne de ...
exo7 377
Soient \(P,Q\in K[X]\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...
exo7 378
Quels sont les polynômes \(P\in\Cc[X]\) tels que \(P'\) divise ...
exo7 379
Calculer pgcd\((P,Q)\) lorsque :
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 380
Déterminer le pgcd des polynômes suivants :
\(X^5+3X^4+X^3+X^2+3X+1 \text{ et } X^4+2X^3+X+2\),
...
exo7 381
Déterminer \(A,B \in \Rr[X]\) tels que \((X^3+1)A+(X^2+X+1)B=1\).
exo7 382
Montrer qu’il existe deux polynômes : \(U, V\), vérifiant : ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3829
Soit \((P_n)_{n\in \N}\) une suite de polynômes de degrés étagés ( ...
exo7 383
Soient \(P,Q\) deux polynômes premiers entre eux.
exo7 3835
Montrer qu’il existe des polynômes \(P_0,\dots,P_n \in \R_n[X]\) tels que : ...
exo7 384
Soit \(n\) un entier positif.
exo7 385
Montrer que les éléments \(X^2+X\), \(X^2-X\), ...
exo7 386
Trouver tous les polynômes \(U\) et \(V\) de ...
exo7 387
Calculer le pgcd \(D\) des polynômes \(A\) et ...
exo7 388
Trouver le pgcd des trois polynômes : ...
exo7 3887
On pose ...
exo7 389
Soit les polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) : ...
exo7 390
Trouver le pgcd de \(X^{24}-1\) et \(X^{15}-1\) ; le pgcd de ...
exo7 391
Soit \(A\in \mathbb{C}[X]\) et \(B\in\mathbb{C}[X]\).
exo7 392
Soit \(n\) un entier strictement positif.
exo7 3929
Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et ...
exo7 393
Déterminer les polynômes \(P\in \mathbb{R}[X]\) et \(Q\in \mathbb{R}[X]\), premie ...
exo7 394
Montrer que les polynômes \(X-1\) et \(X-2\) sont premiers entre eux et en déduir ...
exo7 395
Montrer que les polynômes complexes \(P=X^{1998}+X+1\) et \(Q=X^5+X+1\) sont prem ...
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 3953
On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).
exo7 3954
Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.
exo7 3968
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto x^n(1-x)^n\). En déduire la ...
exo7 3969
Calculer \(\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)\), et ...
exo7 397
Soit \(P(X)= a_nX^n+\cdots + a_0\) un polynôme à coefficients entiers premiers entre eux (c’est à dire tels que le ...
exo7 398
Soit \(P\in \Qq [X]\) un polynôme de degré \(n\).
exo7 399
Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...
exo7 400
Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).
exo7 401
Décomposer dans \(\Rr[X]\), sans déterminer ses racines, le polynôme ...
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 402
Pour tout \(a\in\Rr\) et tout \(n\in\Nn^*\), démontrer que ...
exo7 403
Décomposer \(X^{12}-1\) en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\).
exo7 4032
Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), ...
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 4048
Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...
exo7 406
Soit \(P\) un polynôme de \({\R}[X]\) tel que ...