Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Endomorphismes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Identité, homothéties. | Notations $\mathrm{id}_E$, $\mathrm{id}$. |
Opérations sur les endomorphismes : combinaison linéaire, composition. | Notation $u^k$ pour $u\in\mathscr{L}(E)$ et $k\in\mathbb{N}$. |
Projection ou projecteur, symétrie : définition géométrique, caractérisation par $p^2=p$, par $s^2=\mathrm{id}$. | On incite les étudiants à se représenter géométriquement ces notions par des figures en dimension 2 et 3. |
Automorphismes. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}(E)$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. Notation $u^k$ pour $u\in\mathrm{GL}(E)$ et $k\in\mathbb{Z}$. |
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3354
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3355
Soit \(f\in \mathcal{L}(E)\) telle que \(f^2 = 0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3357
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL(\R^n)\) et ...
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3382
Soit \({\cal G} \subset \mathcal{M}_n(K)\) tel que pour la multiplication, ...
exo7 3390
Soit \(E = \{ \text{matrices de } \mathcal{M}_n(\R) \text{ antisymétriques}\}\) et ...
exo7 3406
Soit \(A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)\) telle que \(a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}\). Interpr ...
exo7 3485
Soient \(p,q\) deux projections de même base \(H\) et de directions ...
exo7 3486
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projection. Montre ...
exo7 3487
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(p,q \in \mathcal{L}(E)\) deux projections. ...
exo7 3488
Soient \(p,q\) deux projections. Montrer les équivalences :
...
exo7 3489
Soit \(E\) un \(K\)-ev. Trouver tous les couples ...
exo7 3490
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3491
Soient \(p,q\) deux projections telles que \(p \circ q = 0\). Montrer que ...
exo7 3492
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) de rang 1. Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3494
Soit \(E = K^3\), \(F = \{ \vec X = (x,y,z) \text{ tq } x + 2y + z = 0 \}\) et ...
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3512
Soit \(E = K_{2n}[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X(X-1)P'-2nXP.}\) Cherc ...
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3514
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(2-X).}\)
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3519
Soit \(E = \{ f : \R \to \R \text{ continues}\) tq \(f(x)\to 0\) lorsque ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3545
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}\)
exo7 3547
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3550
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 3556
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un ev \(E\) de dimension finie, ...
exo7 3557
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3560
Soient \(u,v,h\) trois endomorphismes de \(\R^n\) tels que : ...
exo7 3566
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3570
Soit \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projection et ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3572
Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3579
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).
exo7 3596
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur \(n\) pour ...
exo7 3603
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et ...
exo7 3616
Un endomorphisme \(f\) est dit semi-simple si tout sous-espace stable par \(f\) a ...
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3657
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...