Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
d) Ensemble des matrices carrées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n\geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | Application au calcul de puissances. |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. |
Inverse d’une transposée. Inverse d’un produit de matrices inversibles. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX=Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5607
Rang de la matrice \((i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).
exo7 5614
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). Cal ...
exo7 5615
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). ...
exo7 5616
Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) l’équation \(M=\text{com}M\) ( ...
exo7 5635
Soient \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) une matrice carrée et ...
exo7 5636
On définit par blocs une matrice \(A\) par ...
exo7 5640
Calculer \(\text{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),... ...
exo7 5641
Calculer \(\text{det}(a_i+b_j)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5642
Calculer \(\text{det}((a+i+j)^2)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a\) est un co ...
exo7 5643
Soient \(x_1\),..., \(x_n\) \(n\) entiers nature ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5645
Soient \(a_{i,j}\), \(1\leqslant i,j\leqslant n\), ...
exo7 5646
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles de format ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5648
Soit \(A\) une matrice carrée complexe de format \(n\) ( ...
exo7 5650
Calculer les déterminants suivants :
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5661
Soit ...
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5666
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme car ...
exo7 5669
Pour \(\sigma\in S_n\), \(n\geqslant 2\), on définit la matrice ...
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5790
Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5795
Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 6385
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\).
exo7 6872
Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices : ...
exo7 6885
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 6886
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
...
exo7 6887
Calculer les déterminants suivant : ...
exo7 7413
Pour un entier \(n\geq 2\) et \(x\) dans \(\Rr\) ...
exo7 7801
Montrer sans calcul que la matrice suivante \(A\) à coefficients complexes est inversible ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
Factoriser dans un déterminant
Soit ...
Inversion d'une matrice
Soit ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Matrices de permutation et signature
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un \(1\) par ligne et un ...
Matrices inversibles
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Dans l’affirmative, déterminer la matrice inverse. ...
Matrices inversibles
Déterminer \(a\) tel que la matrice ...
Matrices inversibles
Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse :
...
Matrices, déterminants et inversion
Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs co ...
Puissance d'une matrice à paramètres
Soit la matrice de ...