Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Analyse asymptotique
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L’objectif de cette section est d’introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu et discret. Les fonctions et les suites y sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant un rôle prépondérant. On donne la priorité à la pratique d’exercices plutôt qu’à la vérification de propriétés élémentaires relatives aux relations de comparaison.
Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique. Afin d’en disposer au plus tôt, on traitera en premier lieu les fonctions. Les étudiants doivent connaître les développements limités usuels et savoir mener à bien rapidement des calculs asymptotiques simples. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils logiciels.
Cette section permet de revenir sur la problématique de la vitesse de convergence introduite au premier semestre lors de l’étude des fonctions de variable réelle.
- a) Relations de comparaison : cas des fonctions 107
- b) Développements limités 138
- c) Relations de comparaison : cas des suites 65
exo7 1282
Étude de : \[f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\] ...
exo7 1287
Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1299
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de ...
exo7 1732
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) convexe.
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 1930
Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...
exo7 1935
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...
exo7 1936
Déterminer la nature des séries de terme général: ...
exo7 2096
Soit \(\displaystyle I_n=\int_0^{\frac \pi 2}(\sin x)^n \, d x\) pour ...
exo7 2332
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2338
Dire si les intégrales suivantes sont convergentes (en discutant éventuellement suivant la valeur des paramètres) : ...
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 2657
Calculer \[\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.\] Donner un équivalent de ...
exo7 2715
Montrer que la courbe définie par \[\rho = 1+\tan{\theta\over2}\] admet une asymptote; préciser la position de la ...
exo7 2720
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de ...
exo7 3194
Soit \(n\in\N^*\). Montrer l’existence de \(P_n\in\R[X]\) tel que ...
exo7 3276
Soit \(F \in { K(X)}\) définie en \(a \in K\). Démontr ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3939
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue telle que ...
exo7 3955
Soit \(P\) un polynôme. Montrer qu’il existe au plus un nombre fini de réels ...
exo7 3986
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe telle que \({\cal C}_f\) admet une asymptote d ...
exo7 4002
Soit \(f:\R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4004
Soit \(f:\R \to \R\) trois fois dérivable en \(a\). Étudier ...
exo7 4006
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tous ...
exo7 4009
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On note ...
exo7 4010
Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :
...
exo7 4011
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\). Pour ...
exo7 4012
Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe ...
exo7 4013
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose : ...
exo7 4019
Calculer le développement limité de \(\left(\frac{\tan x}x\right)^{1/x^2}\) en ...
exo7 4020
\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...
exo7 4021
\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4024
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\). CNS pour que ...
exo7 4025
On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...
exo7 4026
Calculer \(\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac k{n^2}\) puis ...
exo7 4027
Pour chacune des courbes suivantes, déterminer la tangente pour \(x=0\) et la position de la courbe par rapport à ...
exo7 4028
On pose : \(f(x) = 1/(1+x)\), \(g(x) = e^{-x}\), ...
exo7 4029
Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...
exo7 4030
Montrer que \(\frac1x\ln(\ch x)\) admet en \(+\infty\) un développement limité gé ...
exo7 4031
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 4032
Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), ...
exo7 4033
Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...
exo7 4034
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable. Chercher ...
exo7 4035
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4037
Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...