Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
a) Opérations sur les matrices
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans le corps $\mathbb{K}$. Addition, multiplication par un scalaire, combinaisons linéaires. | |
Matrices élémentaires. | Toute matrice de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ est combinaison linéaire de matrices élémentaires. |
Produit matriciel ; bilinéarité, associativité. | Si $X$ est une matrice colonne, $AX$ est une combinaison linéaire des colonnes de $A$. |
Produit d’une matrice élémentaire de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ par une matrice élémentaire de $\mathscr{M}_{p,q}(\mathbb{K})$. | Symbole de Kronecker $\delta_{i,j}$. |
Transposée d’une matrice. Opérations sur les transposées : combinaison linéaire, produit. | Notation $A^\top$. |
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Compter les paramètres d'un RNN, LSTM et GRU
Le nombre de paramètres d’un réseau est un indicateur clé de sa capacité et de son coût d’entraînement. On note :
...
exo7 1040
Effectuer le produit des matrices : ...
exo7 1042
On considère les trois matrices suivantes : ...
exo7 1043
On considère les deux matrices suivantes : ...
exo7 1046
Soit \(A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0& 1 &1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et soit ...
exo7 1047
On considère la matrice ...
exo7 1048
suivantes. ...
exo7 1051
Rappeler la structure d’espace vectoriel de \(M_n({\Rr})\). Déterminer une base de ...
exo7 1052
Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix}\). Cal ...
exo7 1053
Déterminer deux éléments \(A\) et \(B\) de ...
exo7 1063
Soient \(A\) et \(B \in \mathcal{M}_n(\Rr)\) telles que ...
exo7 1064
Que peut-on dire d’une matrice \(A \in \mathcal{M}_n (\Rr)\) qui vérifie ...
exo7 1073
Soit \((A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}\) tel que \(\forall X\in M_{n}(\Cc),\) ...
exo7 1079
Calculer l’inverse de : ...
exo7 1144
Soit \((a_1,a_2,a_3)\in(\mathbb{K})^{3}\). On note \(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\), et ...
exo7 1207
Déterminer les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) qui vérifient ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1347
Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose ...
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 1454
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1569
Soit \(A = (a_{i, j}) \in O_{n} (\Rr)\). Montrer que ...
exo7 1584
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(K)\) une matrice diagonale. Si \(P\in K[X]\), calculer ...
exo7 1625
Soit \(A\in\mathcal{M}_{n}(\R)\). Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propr ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2214
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) inversible et ...
exo7 2220
Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&10^{-6} \end{array}\right)\)
exo7 2222
Notons \(\tilde{A}_k\) la matrice carrée d’ordre \((n-k+1)\) formée des éléments ...
exo7 2224
Montrer que la factorisation LU préserve la structure des matrices bande au sens suivant : ...
exo7 2225
Soit \(A\) une matrice symétrique inversible admettant une factorisation LU. Montrer que l’on peut écrire ...
exo7 2226
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec ...
exo7 2227
On suppose \(A\in\Rr^{n\times n}\) inversible. Montrer que si \(PA\Pi =LU\) est o ...
exo7 2228
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) telle que \(A^T\) soit à diagonale strictement domin ...
exo7 2230
Etant donnés \(n\) vecteurs linéairement indépendants de \(\Rr^m\), ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2233
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs unitaires. Donner un algorithme qui utilise l ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2236
Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2238
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices réelles d’ordre ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2434
Soit \(A\) une matrice carrée qui commute avec toutes les matrices carrées. Montrer que c’est une matrice scalaire ...
exo7 2437
Soit \(A\) une matrice carrée.
exo7 2439
Soit \(G\) l’ensemble des matrices de la forme ...
exo7 2443
On rappelle qu’une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) est dite symétriq ...