Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
c) Limite d’une suite réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite finie ou infinie d’une suite. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. |
Unicité de la limite. | Notations $u_n\longrightarrow\ell$, $\lim u_n$. |
Suite convergente, divergente. Toute suite convergente est bornée. | |
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient. Passage à la limite d’une inégalité large. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell>0$, alors $u_n>0$ à partir d’un certain rang. | Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle. |
Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$), par majoration (limite $-\infty$). | Utilisation d’une majoration de la forme $\lvert u_n-\ell\rvert\leqslant v_n$, où $(v_n)$ converge vers 0. |
exo7 5244
Donner un exemple de suite \((u_n)\) divergente, telle que ...
exo7 5245
Soit \(f\) une application injective de \(\Nn\) dans ...
exo7 5246
Soit \(u_n\) l’unique racine positive de l’équation \(x^n+x-1=0\). Etudier la sui ...
exo7 5247
Etude des suites \((u_n)=(\cos na)\) et \((v_n)=(\sin na)\) où ...
exo7 5249
Calculer \(\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))\).
exo7 525
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que ...
exo7 5250
Soit \((u_n)\) une suite réelle non majorée. Montrer qu’il existe une suite extraite de ...
exo7 5251
Soit \((u_n)\) une suite de réels éléments de \(]0,1[\) telle que ...
exo7 5253
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n}k!\sim n!\).
exo7 5254
Soient \(u\) et \(v\) deux suites réelles strictement positives. Pour ...
exo7 5255
Soit \((u_n)\) une suite réelle de limite nulle. Montrer que si ...
exo7 526
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle telle que ...
exo7 527
Donner un exemple de suite bornée divergente, puis de suite divergente telle que ...
exo7 528
Que peut-on dire des nombres réels \(a\) et \(b\) si ...
exo7 529
Étudier la suite $(u_n)$ définie par~: $$u_n= \begin{cases} 0 & \text{ si } $n$ \text{ est premier }\cr 67+1/n & \text{ sinon }.\cr \end{cases}$$ ...
exo7 530
On donne la suite \((u_n)\) définie par : ...
exo7 531
Soit \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) trois suite ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 532
Soit \(\alpha\) un nombre irrationnel positif et \((p_n)\) et ...
exo7 533
Étudier la suite \(u_n=\ln(1+\ln(2+\ln(3+\cdots+\ln(n-1+\ln n)\cdots)))\).
exo7 534
Montrer que pour \(n\geq1\), l’équation \(x^n+x^{n-1}+x^2+x-{n+1 \over n}=0\) adm ...
exo7 535
Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arb ...
exo7 536
Soit \((u_n)\) la suite réelle définie par récurrence en posant \(u_0=1\) et ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5397
Soit \(f\) continue sur \(\Rr^+\) telle que, pour tout réel positif ...
exo7 540
Soit \(a\in \mathbb{R}\). On considère la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 542
Étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 5425
Etudier la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :
...
exo7 5426
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes
exo7 543
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= e^{-u_n}\) et \(u_0=0\).
exo7 5435
Soit \(u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]\). Pour \(n\in\Nn\), on pose ...
exo7 5436
Soit \(u\) la suite définie par la donnée de son premier terme \(u_0>0\) et la ...
exo7 5444
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et strictement positives sur ...
exo7 5445
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5446
Limites de ...
exo7 545
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...
exo7 5457
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de ...
exo7 5459
Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
...
exo7 5474
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^nx\;dx\).
exo7 5475
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
exo7 548
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 549
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\ln(e-1+u_n)\).
exo7 550
Discuter suivant les valeurs de \(u_0\) la nature de la suite ...
exo7 551
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs ; on définit une suite ...
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 553
Soit \(f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]\). On considère \(a\in [0,1]\) et la suite ...
exo7 554
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= (1-u_n)^2\) (discuter suivant les valeurs de ...
exo7 556
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 559
On donne \(A\geq 0\), \(B\geq 0\), \(u_0\geq 0\) ...