Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 1 – Logique, ensembles et raisonnemment
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Les notions présentées ci-dessous, introduites dès la classe de Seconde, sont reprises comme outils pour l’algorithmique et les probabilités et doivent faire l’objet d’un développement très modeste sans abstraction excessive. Les exemples illustrant ces notions seront une première occasion d’introduire des situations probabilistes.
Ces notions ne pourront constituer le thème principal d’aucune question d’écrit ou d’oral.
exo7 149
Soit \(X\) un ensemble et \(f\) une application de ...
exo7 150
Soit \((f_n)_{n\in\Nn}\) une suite d’applications de l’ensemble \(\Nn\) dans lui- ...
exo7 151
Soit \(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\), \(r\) nombres premiers. Montrer que l’entier ...
exo7 152
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(10^{6n+2}+10^{3n+1}+1\) est divisible par ...
exo7 153
Montrer :
exo7 154
En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?
Soit \(\mathcal{P}(n)\) : ...
exo7 155
Soit la suite \((x_n)_{n\in \Nn}\) définie par \(x_0=4\) et ...
exo7 156
Dans le plan, on considère trois droites \(\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}\) formant un “vrai” triangle : elles n ...
exo7 157
Soit \(X\) un ensemble. Pour \(f \in \mathcal{F} (X, X)\), on définit ...
exo7 158
Montrer que \[\forall n\geq 2,n!\leq \left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n}.\]
exo7 159
Pour tout entier naturel \(n\), on pose ...
exo7 160
Pour \(n\in \mathbb{N}\) on considère la propriété suivante : ...
exo7 161
Que pensez-vous de la démonstration suivante ?
exo7 162
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(9\) divise ...
exo7 163
Démontrer que pour \(n\geq 1\), le produit de \(n\) entiers impairs est un entier ...
exo7 164
On considère une suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telle que : ...
exo7 165
Soit \(b\geq 2\) un entier fixé. Démontrer que pour tout ...
exo7 166
Démontrer par récurrence que pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k!\) divise le produ ...
exo7 167
Les propriétés \[P_n \;:\; 3 \mid 4^n-1 \;,\; \forall n \in \mathbb{N},\] et ...
exo7 168
Calculer les restes de la division euclidienne de \(1,4,4^2,4^3\) par \(3\).
exo7 169
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(3^{2n+2}-2^{n+1}\) est divisible par ...
exo7 170
Démontrer par récurrence: \[\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\]
exo7 171
Montrer que pour tout entier \(n\geq 1\): ...
exo7 172
Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entier \(n_0\) tel que ...
exo7 173
Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...
exo7 174
Soit \(n\in\mathbb{N}\); montrer que pour tout entier \(k\geq 1\) on a ...
exo7 1749
Simplifier l’écriture des ensembles suivants : ...
exo7 175
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\), ...
exo7 176
On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...
exo7 177
Montrer que : \[2\cos \frac{\pi}{2^n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}.\]
exo7 178
Pour \(n \in \mathbb{N},\) \(n \geq 2,\) trouver une loi simplifiant le produit : ...
exo7 1782
Soient \(A\) et \(B\), deux parties d’un evn ...
exo7 179
Pour \(n \in \mathbb{N},\) soient \(a_0,\ldots,a_n\) des nombres réels de même si ...
exo7 180
Quels sont les entiers \(n\) \(\)tels que ...
exo7 182
Soit \(f:\Nn^{*}\rightarrow \Nn^{*}\) une application vérifiant : ...
exo7 1886
Soit \((E,N)\) une espace vectoriel. Montrer les équivalences : ...
exo7 1965
Montrer que l’intersection de deux parties convexes est convexe. Est-ce vrai pour l’union ?
exo7 2102
(I) Soit \(X\) un ensemble et \({\cal P} (X)\) l’ensemble des parties de ...
exo7 2103
Soit \(X\) un ensemble non vide et ordonné. Montrer qu’il existe une partie \(Y\) ...
exo7 234
Soient \(0 \leq p \leq n\).
exo7 236
Pour \(A,B\) deux ensembles de \(E\) on note ...
exo7 241
Soient \(A\) et \(B\) deux sous ensembles finis d’un ensemble ...
exo7 244
Montrer par récurrence sur \(n\) que si ...
exo7 2452
Calculer par récurrence le déterminant ...
exo7 263
On définit les trois ensembles suivants : ...
exo7 270
Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...
exo7 2890
Soit \(E\) un ensemble, et \(A,B\) deux parties fixées de ...
exo7 2899
Soit \(f: E\to F\). Que pensez-vous des affirmations suivantes ?
exo7 2916
Soient \(A_1, \dots, A_n\) \(n\) ensembles finis, et ...
exo7 2962
Soit \(*\) une opération sur \(E\). Pour ...