Programme de mathématiques MP, MPI
Calcul différentiel et optimisation
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En première année, l’étudiant a rencontré les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$.
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- généraliser et approfondir cette étude, en présentant les notions fondamentales de calcul différentiel dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie sur $\mathbb{R}$ ;
- donner une introduction à la thématique de l’optimisation, en lien avec le théorème des bornes atteintes du cours de topologie.
On souligne le caractère géométrique des notions. En particulier, on exploite la possibilité de se ramener, pour un certain nombre de questions, à des fonctions d’une variable réelle, à travers l’utilisation de la formule donnant la dérivée d’une fonction le long d’un arc et la notion de vecteur tangent à une partie en un point.
Les fonctions considérées dans cette section sont définies sur un ouvert d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$ de dimension finie et à valeurs dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
Le choix d’une base de l’espace d’arrivée permet de se ramener au cas des fonctions à valeurs réelles.
- a) Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles 69
- b) Différentielle 129
- c) Opérations sur les applications différentiables 5
- d) Applications de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- e) Vecteurs tangents à une partie d’un espace normé de dimension finie 12
- f) Optimisation : étude au premier ordre 62
- g) Applications de classe $\mathscr{C}^k$ 4
- h) Optimisation : étude au second ordre 19
exo7 4193
Soit \(ABC\) un triangle de cotés \(a,b,c\).
exo7 4195
Soient dans \(\R^2\) : \(A=(0,a)\), \(B=(b,-c)\) ...
exo7 4197
\(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) sont trois droites d’u ...
exo7 4199
Déterminer le plus court chemin entre les pôles nord et sud d’une sphère en dimension ...
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4201
Résoudre l’équation \(2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f\) avec la con ...
exo7 4204
Soit \(U\) l’ouvert de \({\R^2}\) : ...
exo7 4209
Résoudre l’équation : ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4213
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On pose ...
exo7 4214
On considère l’équation aux dérivées partielles sur \(\Omega = (\R^{+*})^2\) : ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4216
Pour \((x,y) \in {\R^2}\), on pose \(u = x^2-y^2\), ...
exo7 4217
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4219
Trouver les fonctions \(g : {\{(u,v)\in\R^2\text{ tq } u > v\}} \to \R\) de classe ...
exo7 4366
Étudier \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 4908
Soit \(\cal P\) une parabole de paramètre \(p\) et ...
exo7 4935
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 5555
Déterminer la classe de \(f\) sur \(\Rr^2\) où ...
exo7 5558
Trouver les extrema locaux de
exo7 5559
Maximum du produit des distances aux cotés d’un triangle \(ABC\) du plan d’un point ...
exo7 5561
Trouver toutes les applications \(\varphi\) de \(\Rr\) dans ...
exo7 5562
Trouver toutes les applications \(f\) de \(\Rr^2\) dans ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5894
Extremums des fonctions suivantes :
exo7 5895
Soit ...
exo7 5898
Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes :
exo7 5899
Déterminer la différentielle en tout point de ...
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 5905
Soit \(f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2\) de classe \(C^2\) dont la différentielle en to ...
exo7 5907
Soit \(\omega=x^2dx+y^2dy\). Calculer l’intégrale de \(\omega\) le long de tout c ...
exo7 5915
Soit \(\mathcal{S}\) la surface d’équation \(x^4-x^3+xy-y^2-z=0\).
exo7 5916
Trouver toutes les droites tracées sur la surface d’équations \(x^3+y^3+z^3=1\) puis vérifier que ces droites sont ...
exo7 6255
Soit \(H\) un espace préhilbertien sur \(\Rr\), et ...
exo7 6256
Soit \(a\in \Rr^n\) et \(f:{\Rr^n}\backslash\{a\}\to {\Rr^n}\) définie par ...
exo7 6257
Soit \(B\) une application bilinéaire de \(E\times F\) dans ...
exo7 6261
Soient \(E,F\) des espaces normés, \(\Omega\) un ouvert de ...
exo7 6263
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6287
Soient \(E_1,E_2\) et \(F\) des espaces normés et ...
exo7 6289
Soit \(f:\Rr^n\to\Rr^n\) de classe \(C^2\) telle que, pour tout ...
exo7 6290
Trouver les applications \(G: \Rr^2 \to \Rr\) de classe \(C^2\) telles que ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6293
Vérifiez que les fonctions suivantes sont harmoniques dans \(\Rr^2\) :
exo7 6294
Exprimez en coordonnées polaires : ...
exo7 6295
Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3\) privé de l’axe des ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6298
Dans \(\Rr^n\), on pose ...
exo7 6299
\(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle\).