Programme de mathématiques MP, MPI
Calcul différentiel et optimisation
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En première année, l’étudiant a rencontré les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$.
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- généraliser et approfondir cette étude, en présentant les notions fondamentales de calcul différentiel dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie sur $\mathbb{R}$ ;
- donner une introduction à la thématique de l’optimisation, en lien avec le théorème des bornes atteintes du cours de topologie.
On souligne le caractère géométrique des notions. En particulier, on exploite la possibilité de se ramener, pour un certain nombre de questions, à des fonctions d’une variable réelle, à travers l’utilisation de la formule donnant la dérivée d’une fonction le long d’un arc et la notion de vecteur tangent à une partie en un point.
Les fonctions considérées dans cette section sont définies sur un ouvert d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$ de dimension finie et à valeurs dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
Le choix d’une base de l’espace d’arrivée permet de se ramener au cas des fonctions à valeurs réelles.
- a) Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles 69
- b) Différentielle 129
- c) Opérations sur les applications différentiables 5
- d) Applications de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- e) Vecteurs tangents à une partie d’un espace normé de dimension finie 12
- f) Optimisation : étude au premier ordre 62
- g) Applications de classe $\mathscr{C}^k$ 4
- h) Optimisation : étude au second ordre 19
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Calcul différentiel
Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Continuité, dérivées partielles et non-différentiabilité en l'origine
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt[5]{2x^3+y^2}\). On note ...
Différentiabilité
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \(\)f(x,y) = {
...Différentiabilité d'une fonction de deux variables
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Dérivée partielle via la règle de dérivation composée
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère une boîte dont la longueur \(\ell\), la largeur \(w\) et la hauteur ...
Effet du taux d'apprentissage sur la descente de gradient
On se place dans la situation suivante : \(w = 3\), gradient \(= 4\).
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 1799
Soit ...
exo7 1800
Soit la fonction \(f \colon \R^{2} \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 1801
Soit \(f : \R \rightarrow \R\) dérivable. Calculer les dérivées partielles de : ...
exo7 1802
Soit ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1806
Montrer qu’une norme \(N\) sur \({\Rr}^{2}\) ne peut avoir des dérivées partielle ...
exo7 1808
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y)=e^{x^2+y^2}\) au point \(P(1,0)\) sui ...
exo7 1809
Etudier la continuité, ainsi que l’existence et la continuité des dérivées partielles premières, des fonctions suivantes :
exo7 1810
On définit la fonction ...
exo7 1811
Soit \(f:\rbrack 0,1\lbrack \times \rbrack 0,1\lbrack \to \R\), ...
exo7 1812
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1813
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1814
Etudier la différentiabilité et la continuité des dérivées partielles de la fonction \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1815
Etudier la différentiabilité en \((0,0)\) des fonctions définies par
exo7 1819
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y)=x^2-xy-2y^2\) au point \(P(1,2)\) dan ...
exo7 1820
Calculer les différentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de définition :
exo7 1821
Calculer \(df\, (1,1)\), si \(f(x,y)=\frac{x}{y^2}\).
exo7 1822
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y,z)=\ln \left( e^x+e^y+e^z\right)\) à l’origine dans une direction form ...
exo7 1823
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 1825
Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donné :
exo7 1826
Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
exo7 1827
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=x^3-3x(1+y^2)\). ...
exo7 1828
Trouver le point du plan \((2x-y + z = 16)\) le plus proche de l’origine.
exo7 1829
Déterminer les extremums de \(f (x, y) = xy (1-x^{2}-y{2})\) sur \([0, 1]^{2}\). ...
exo7 1830
Soit \(f (x, y) = x^{2} + xy + y^{2}-3x-6y\). Montrer que \(f\) admet au plus un ...
exo7 1831
Déterminer un triangle d’aire maximale inscrit dans un cercle donné.
exo7 1832
Soit \(f (x, y) = (x^{2}-y) (3x^{2}-y)\).
Montrer que \(f\) admet un minim ...
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 1834
Déterminer les extrémums de \(f:(x,y,z)\rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.\)
exo7 1836
Si \(f\) est concave sur un ouvert convexe \(U\subset {\Rr}^{2}\) et si : ...