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Développer en série entière les fonctions suivantes :

Pour \(x\) réel, on pose ...

Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...

Soit \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\) une série entière de rayon \(R > 0\) et te ...

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...

Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}\) pour \(x\) dans ...

Pour \(n\) entier naturel, on pose ...

Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...

On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...

Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...

Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...

Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...

Développer en série entière \(F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt\) et en déduire que pour tout réel ...

Soit \(I_n\) le nombre d’involutions de ...

Pour \(n\in\Nn^*\) et \(x\in]0,+\infty[\), on pose ...

Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...

Déterminer \(\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}\).

Calculer le volume de \(B=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\Rr^n/\;x_1^2+\ldots+x_n^2\leqslant1\}\) (boule unité fermée de ...

En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...

On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).

Montrer que toute fonction réglée sur \([0,1]\) s’approche uniformément par des fonctions en escalier.

Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.

Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...

Soit \(E=C([0,1])\), \(\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt\), ...

Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions réelles convergeant uniformément vers \(f\) ...

Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...

On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...

On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...

On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)

...

Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.

Soit \(g:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) une fonction telle que : ...

Donner un exemple de fonction qu’on ne puisse approcher à \(\epsilon\) près par des fonctions en escaliers.

On dit qu’un ensemble \(A\) de fonctions définies sur un intervalle \(I=[a,b]\) d ...

On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...

Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...

Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{z+n}\) converge de façon compacte sur ...

Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).

Soit \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_nz^n\) deux séries entières de rayon de converg ...

Montrer que pour tout \(N\in\Nn\), et tout \(z\in\Delta\), ...

Montrer que pour tout entier naturel \(k\) et tout \(z\in\Delta\), ...

On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...

On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...

Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications

Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).

On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes \(B_n\) tels que sur le domaine de convergence ...

Rappeler la définition du rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\).