Programme de mathématiques MP, MPI
e) Étude locale d’une application, continuité
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite en un point adhérent à une partie $A$. Caractérisation séquentielle. | Extensions : limite de $f(x)$ lorsque $\lVert x\rVert$ tend vers $+\infty$, limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsque $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, limite infinie en $a$ adhérent à $A$ pour une fonction réelle. |
Cas d’une application à valeurs dans un produit fini d’espaces vectoriels normés. Opérations algébriques sur les limites. Limite d’une composée. Continuité en un point. Caractérisation séquentielle. | |
Opérations algébriques sur les applications continues. Composition de deux applications continues. | Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales. |
Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue. | |
Applications uniformément continues, applications lipschitziennes. | Caractère 1-lipschitzien de l’application $x\mapsto d(x,A)$ où $A$ est une partie non vide de $E$. |
Continuité de Fonctions
La fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 1764
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1784
Étudier l’existence des limites suivantes :
exo7 1786
Soit ...
exo7 1787
Déterminer les limites lorsqu’elles existent:
exo7 1790
Étudier la continuité de la fonction \(f_1:\R^2\rightarrow\R\) définie par ...
exo7 1792
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) telle que ...
exo7 1796
Etudier la continuité en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 1806
Montrer qu’une norme \(N\) sur \({\Rr}^{2}\) ne peut avoir des dérivées partielle ...
exo7 1837
Soit \(A\subset {\Rr}^{2},\) on définit \(\int(A)\) comme l’ensemble ...
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1878
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On rappelle qu’une application co ...
exo7 1879
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...
exo7 1896
On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeur ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 2058
Soit \(\gamma :[0,1]\rightarrow \Cc\) continue, et \(z\in \Cc\) quelconque. Montr ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2354
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 2359
Soit \(f\) une fonction continue de \(]0,1[\) dans ...
exo7 2362
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés et ...
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2367
Soit \(X\) un espace normé, \(L:X\to \Rr\) une form ...
exo7 2377
Soit \(f:\Rr^n \to \Rr^n\) une application continue. Elle est dite propre si pour tout compa ...
exo7 2406
Soit \(X = ({\cal C}^1([0,1]),N)\) avec \(N(f) = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty\) ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2515
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr\) l’application ...
exo7 2617
Déterminer si chacune des parties suivantes du plan sont ouvertes ou fermées, ou ni l’un ni l’autre. Déterminer chaque fois l’intérieur et l’adhére ...
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 3851
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue. On pose ...
exo7 3862
Soit \(I\) un intervalle borné et \(f : I \to \R\) uniformément continue. Montrer ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3961
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que : ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4121
Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4162
Soit \(f : {\R^3} \to {\R^3}, {(x,y,z)} \mapsto {(e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y).}\) Montrer que ...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4194
On considère un vrai triangle \(ABC\) et \(f\) la fonction définie par : ...
exo7 4521
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to {[c,d]}\) et \({g_n} : {[c,d]} \to \R\) des fonctions ...
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...