Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Matrice d’une application linéaire dans des bases
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Matrice d’un vecteur, d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases, d’un endomorphisme dans une base. Isomorphisme d’espaces vectoriels de $\mathscr{L}(E, F)$ sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ induit par le choix d’un couple de bases. Isomorphisme d’espaces vectoriels et d’anneaux de $\mathscr{L}(E)$ sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ induit par le choix d’une base. Coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire. | Exemple : matrice, dans la base $(1, i)$ de $\mathbb{C}$ vu comme plan vectoriel réel, de la similitude de multiplicateur $a + ib$. |
Matrice d’une composée d’applications linéaires. Lien entre matrices inversibles et isomorphismes. | Cas particulier des endomorphismes. |
exo7 3510
Soit \(E = K_n[X]\) et ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3583
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) telle que \(\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}\) et ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3625
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+y-z\), ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3633
Soit \(E = K_n[X]\) et \(a,b \in K\) distincts. On pose ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3673
Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3697
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3712
Déterminer la matrice de la rotation \(\cal R\) de \(\R^3\) dans une base orthono ...
exo7 3734
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3764
Soit \({\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base non orthonormée de \(E\), ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 5189
Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5260
Soit ...
exo7 5261
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\Rr^3\), nilpotent d’indice ...
exo7 5262
Soit ...
exo7 5266
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles que ...
exo7 5276
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}\) définie par \(a_{i,j}=0\) si ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5612
Calculer l’inverse de ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7412
Soit \(\R[X]\) l’ensemble de polynômes dans \(\R\) et soit ...
exo7 7432
Soit le plan affine \(E\) muni du repère cartésien \((A,\vec{u},\vec{v})\). On co ...
exo7 7445
Soit \((E,<.>)\) un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7492
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) définie par ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
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