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Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...

Calculer les intégrales suivantes.

En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...

Soit les polynômes à coefficients réels \(A(X)=X^3+2 X-5\) et \(B(X)=X-1\).

Soit le polynôme \(P \in \R[X]\) défini par : \[P(X) = (X^{2}+1)^2-X^2.\]

Considérons les deux fractions rationnelles \(P\) et \(Q\) suivantes: ...

Calculer la division euclidienne de \(X^5+1\) par \(X^4-2 X^3+X^2\).

Vérifier que le polynôme \(B(X)=X^2-X+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}[X]\). ...

Montrer qu’il existe des réels \(a, b\) et \(c\) tels que, pour tout ...

On considère la fonction \(f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}\).

Pour chacune des fractions rationnelles, indiquer s’il s’agit d’un élément simple dans \(\mathbb{R}(X)\).

Établir la convergence et évaluer les produits infinis suivants: ...

On donne un entier \(n\ge 0\).

Montrer qu’il existe des polynômes ...

Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.

Soient \(x_1,x_2,x_3,x_4\) les racines de \(X^4 + X + 1\). Calculer ...

Soit \(F \in {\C(X)}\) telle que \(F(e^{2i\pi/n}X) = F(X)\). Montrer qu’il existe ...

Soit \(F = \frac 1{X^2+1}\). Montrer qu’il existe un polynôme ...

Décomposer en éléments simples sur \(\R\) puis sur ...

Calculer les dérivées \(p\)-ièmes des fractions suivantes :

A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer :

Soit \(F(X) = \frac 1{R(X)} = \frac 1{(X-a)^2Q(X)}\) avec \(Q(a) \ne 0\). Cherche ...

Soient \(a_1,\dots,a_n \in K\) distincts et \(P = (X-a_1)\dots(X-a_n)\).

Soit \(P \in {\C_n[X]}\) \((n \ge 2)\) ayant ...

Soient \(a_1, \dots, a_n \in K\) distincts et ...

Trouver les fractions \(F \in {\R(X)}\) telles que : ...

Soient \(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\), et \(c\) des scalaires distincts. On ...

Soit \(P \in {\R[X]}\) ayant \(n\) racines positives distinctes (entre autres). ...

Soit \(P\in\R[X]\) unitaire de degré \(n\) et ...

Étudier l’existence de solutions du système : ...

...

...

Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \[\frac{3}{X^3 + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr\] ...

Décomposer \(\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\). ...

Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.\)

Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}.\)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts et ...

Donner une CNS sur \(f\in \Cc(X)\) pour qu’il existe \(g\in \Cc(X)\) tel que ...

Décomposer en éléments simples sur \(\C\) la fractions rationnelle : ...

Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...

Soit \(P\in\Cc[X]\) de degré supérieur ou égal à \(1\). Montrer que les racines d ...

Soit \((a_k)_{1\leq k\leq 5}\) la famille des racines de \(P=X^5+2X^4-X-1\). Calc ...

Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes

...

Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes

...

Soit \(U_n\) l’ensemble des racines \(n\)-ièmes de l’unité dans ...

Montrer que \((\frac{1}{X-a})_{a\in\Cc}\) est libre dans \(K(X)\).

Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(\frac{1}{X^2+1}\).

On pose \(P=a(X-x_1) ... (X-x_n)\) où les \(x_i\) sont des complexes non nécessai ...

Soit \(A=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\) où \(a_1\),..., ...

Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...