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Montrer que les éléments nilpotents d’un anneau forment un idéal.

Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_3[x]\) et ...

Soient \(A=\Zz [\sqrt{-3}]\) et \(K\) son corps de fractions. Montrer que ...

Démontrer que tout morphisme d’un corps dans un anneau non-trivial est injectif.

Soit \(R\) un anneau intègre dans lequel toute chaı̂ne décroissante d’idéaux est finie. Démontrer que ...

Montrer que dans un anneau fini tout idéal premier est maximal.

Soit \(A\) un anneau. Trouver les anneaux quotients ...

Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo ...

Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors ...

Soit \(C=A\times B\) le produit direct de deux anneaux. Décrire les ensembles des éléments inversibles, des divise ...

Soit \(\sqrt{d}\) non rationel. Dans l’anneau ...

Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).

Soit \(G\) l’ensemble des matrices d’ordre 2 inversibles.

Soit \(G\) l’ensemble des matrices de la forme ...

Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...

Montrer qu’un groupe \(G\) dont les seuls sous-groupes sont \(G\) et ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif (c’est-à-dire dont la loi est notée multiplicativemen ...

Montrer que les éléments d’ordre fini d’un groupe commutatif \(G\) forment un sous-group ...

Soit \(G\) un groupe commutatif multiplicatif, \(a\) et ...

Montrer qu’un groupe fini dont l’ordre est un nombre premier est cyclique.

Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux transpositions de ...

Matrices de permutation

Soit \(n\in\N^*\) et \(K\) un corps. Montrer que l ...

Soit \(\sigma\in S_n\) et \(c=(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)\) un cycle. Quelle est la na ...

Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.

D ...

On munit l'ensemble $G = \{a, b, c, d\}$ d'une loi de composition interne dont la table de Pythagore est ...

Montrer que les ensembles \(G\) suivants, munis des lois \(\star\) données, sont ...

Dire pour quelle(s) raison(s) les opérations \(\star\) suivantes ne munissent pas les ensembles ...

Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de ...

Déterminer \(2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}\). Est-ce un sous-groupe de ...

Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) ; montrer que la famille des sou ...

Combien existe-t-il d’opérations internes sur un ensemble à \(n\) élé ...

Sur \(E = [0,1]\), on définit l’opération : ...

Soit \(*\) une opération associative sur \(E\), et ...

Soit \(*\) une opération sur \(E\). Pour ...

On définit l’opération dans \(\Z^2\) : ...

Soient \(G,H\) deux groupes multiplicatifs. On munit \(G\times H\) de l’opé ...

Les opérations suivantes sont-elles des lois de groupe ?

Soit \(G\) un ensemble non vide muni d’une opération interne ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif, \(E\) un ensemble, et ...

Pour tout \(x,y \in \R\), on pose \(x \star y = x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2}\) ...

Pour tout \(x,y \in \R\), on pose \(x \star y = \sqrt[\scriptstyle 3]{x^3+y^3}\). ...

Soit \(E\) un ensemble fini muni d’une opération interne \(*\) assoc ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(H\) une partie finie de ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif. On note \(Z(G) = \{ a \in G\) tq ...

Soit \(E\) un ensemble et \(G = {\cal P}(E)\).

Soit \(G\) un groupe additif, et \(H,K,L\) trois sous-groupes de ...

Soit \(G\) un groupe fini et \(H,K\) deux sous-groupes de ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif. On note Aut\((G)\) l’ensemble des isomorphism ...

Soit \(G\) un groupe additif et \(f : G \to {G'}\) un morphisme de groupes. ...

Soit \(G\) un groupe cyclique engendré par \(a\) d’ordre ...