Texte officiel du programme
Cette section a pour objectif d’établir les principales propriétés de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment de manière à achever la justification des propriétés présentées dans la section « Techniques fondamentales de calcul en analyse ». Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La construction de l’intégrale n’est pas un attendu du programme, mais les étudiants doivent avoir été sensibilisés à cette problématique.
- a) Fonctions en escalier 1
- b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment 365
- c) Sommes de Riemann 18
- d) Lien entre intégrale et primitive 43
- e) Inégalité de Taylor-Lagrange 3
- f) Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes 17
exo7 3977
Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4005
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que : ...
exo7 4014
Soit \(f : {\R} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose ...
exo7 4015
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) telle que ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4073
Trouver les applications \(g : {\R^+} \to {\R^+}\) continues vérifiant pour tout ...
exo7 4074
Soient \({a,b} : \R \to \R\) continues, et \(y,z\) solutions de ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4079
Soit \(k\in\R^*\) fixé. On considère : ...
exo7 4082
Trouver les fonctions \(f,g\) continues vérifiant : ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4092
Soit \({a,b} : \R \to \R\) continues telles que : \(\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1\) ...
exo7 4105
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4134
Soit \(J\) un intervalle de \(\R\) et ...
exo7 4183
On pose : ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4220
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour toute fonction ...
exo7 4221
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue non identiquement nulle, telle que : ...
exo7 4222
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive.
exo7 4223
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et \(g : \R \to \R\) continue convexe.
...exo7 4224
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue positive. On pose ...
exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4226
Pour \(0<a<b\), déterminez ...
exo7 4227
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) continue, bijective, strictement croissante.
Calculer ...
exo7 4229
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4230
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4231
Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).
exo7 4233
Pour \(x \in \R,\ x \ne \pm1\), on pose ...
exo7 4234
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue. Pour \(n \in \N^*\), on pose ...
exo7 4235
Soit \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac {t\sin t}{1 + \cos^2t}\,d t\). Effectuer dans ...
exo7 4236
Calculer \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac t{1+\sin t}\,d t\).
exo7 4237
Calculer \(\int_{t=0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t)\,d t\). On remarquera que ...
exo7 4238
On note \(I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x\), ...
exo7 4239
Calculer pour tout \(n \in \N^*\) : ...
exo7 4240
Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).
exo7 4241
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\), \(K\)-lipchitzienne.
Montrer que ...
exo7 4242
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On fixe ...
exo7 4243
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 4244
Étudiez la limite de la suite définie par \(u_n=\frac n2-\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}\cdotp\)
exo7 4245
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4246
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) définie par ...
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4248
Soit \(f:\R \to \R\) convexe et \(g(x) = \int_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,d t\). Montrer ...
exo7 4249
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et ...
exo7 4250
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
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