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Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...

Pour \(n\) entier naturel, on pose ...

On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...

Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...

Soit \(I_n\) le nombre d’involutions de ...

On note \(E\) l’ensemble des suites réelles de carrés sommables c’est-dire les suites réelles ...

Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...

Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...

On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)

...

Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).

Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).

Calculer : ...

Calculer : ...

Calculer les limites suivantes :

On rappelle que, pour tout réel \(x\) tel que \(|x|<1\), ...

On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est ...

Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l’êt ...

Étudier la convergence des séries \(\sum\limits_{n \geq n_0} u_n\) suivantes et préciser la somme de la série quan ...

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

On considère la série entière à variable réelle \[S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+2}{n!}\,x^n.\] ...

On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...

Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes réels strictement positi ...

Pour tout \(n \in \N\), on pose \(u_n = \frac{5}{4^n}\).

Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).

Soit un entier \(k \geq 1\).

Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...

On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]

Vrai ou Faux ? Justifier.

Vrai ou Faux ? Justifier.

Dire la série \(\sum u_n\) est convergente ou divergente pour les cas suivants :

Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...

Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n}\) ?

En examinant la limite du terme général, montrer que les séries suivantes divergent :

Étudier la convergence des séries \(\sum u_n\) suivantes:

On relève les cinq couples \[(x_i,y_i)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,12).\] On hésite entre les deux modèles ...

Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout ...

Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une justification, le cas échéant avec un contre exemple, est attendue. ...

Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée mais une mauvaise réponse entraîne une pénalité de points.

Soit \(a\) un réel strictement positif et \(u_1\) un réel strictement positif. On ...

Soit \(\alpha\) un nombre réel et \((u_n)\) la suite définie pour tout entier nat ...

Soit la suite \((u_n)\) définie par : ...

Prouver qu’un équivalent de \(e^{x^2}-\cos(x)\) au voisinage de \(0\) est ...

Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l’êt ...

Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...

Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...

Pour chacune des séries suivantes, déterminer si elle converge ou diverge.

Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...