Texte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.
- a) Normes 104
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 66
- c) Comparaison des normes 26
- d) Topologie d’un espace vectoriel normé 97
- e) Limite et continuité en un point 118
- f) Continuité sur une partie 23
- g) Espaces vectoriels normés de dimension finie 21
Continuité de Fonctions
La fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
exo7 1194
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite bornée de nombres réels telle que ...
exo7 1488
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(F\) et ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1731
Soient \(p\) et \(q \in ]0, + \infty[\) tels que ...
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1741
Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.
...
exo7 1742
Montrer que toute reunion et toute intersection finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. Que peut-on dire des intersections infinies d’ens ...
exo7 1744
Soit \(f:\R^n\rightarrow \R\) une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalent ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1747
Soit l’application ...
exo7 1754
Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...
exo7 1755
On se propose de montrer que tout ouvert de \(\R\) est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère d ...
exo7 1756
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soient \(A\) et ...
exo7 1758
Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\).
exo7 1760
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soient \(A\) et ...
exo7 1762
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soit \(A\) une partie non vide et bornée de ...
exo7 1764
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1766
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé. Pour toutes parties \(A\) et ...
exo7 1768
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé et \((x_n)_{n\in\N}\) une suite ...
exo7 1769
Soit \(X\) une partie de \({\Rr}^{2}\); montrer qu’elle est fermée si et seulemen ...
exo7 1770
Soient \(k\in {\Rr}^{+*},\) ...
exo7 1771
Soit \(\left( K_{n}\right) _{n\in \Nn^{*}}\) une suite d’ensembles fermés bornés de ...
exo7 1772
Montrer que l’intersection de deux ensembles ouvert est ouvert, que l’union de deux ensembles fermés est fermée, que cela reste vrai pour un nombre ...
exo7 1773
Soit \(E\subset {\Rr}^{2}\) un ensemble ; on pose ...
exo7 1774
Soit \(A\) une partie bornée de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...
exo7 1775
Soit \(C\) une partie convexe de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...
exo7 1776
Classer (pour l’inclusion) les parties : \(\overline{A\cap B}, \overline{A} \cap \overline{B}\) et ...
exo7 1777
Dans l’espace vectoriel normé \(\R\), chacune des parties suivantes est-elle ouverte ? fermée ?
...
exo7 1778
Soit \(E\) un evn (espace vectoriel normé). Soit \(A\) une partie de ...
exo7 1779
Soit \(E\) un evn, \(V\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1780
Représenter graphiquement les parties suivantes de \(\R^2\) et dire pour chacune d’elle si c’est un ouvert, un fer ...
exo7 1781
Déterminer l’adhérence de chacune des parties de \(\R\) suivantes :
exo7 1782
Soient \(A\) et \(B\), deux parties d’un evn ...
exo7 1783
Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) une suite réelle. \(\forall n \geq 1\), on pose ...
exo7 1784
Étudier l’existence des limites suivantes :
exo7 1786
Soit ...
exo7 1787
Déterminer les limites lorsqu’elles existent:
exo7 1790
Étudier la continuité de la fonction \(f_1:\R^2\rightarrow\R\) définie par ...
exo7 1792
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) telle que ...
exo7 1796
Etudier la continuité en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 1806
Montrer qu’une norme \(N\) sur \({\Rr}^{2}\) ne peut avoir des dérivées partielle ...
exo7 1837
Soit \(A\subset {\Rr}^{2},\) on définit \(\int(A)\) comme l’ensemble ...
exo7 1841
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) continue telle que : ...
exo7 1865
Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose ...
exo7 1869
On considère les trois normes définies sur \(\mathbb{R}^2\) par: ...
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1871
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1872
Lorsqu’un espace vectoriel \(E\) est en outre muni d’une multiplication, l’application ...