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Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}\).

Soin \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite complexe telle que la série \(\sum a_n\) conver ...

Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...

Soit \(f:\R \to \R\) continue, ayant même limite finie \(\ell\) en ...

Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.

Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :

Comment peut-on trouver le rayon de convergence d’une série entière dont la suite des coefficients admet une infinité de zéros ?

Quel est le rayon de convergence de la série entière : ...

Rayon de convergence \(R\) de la série entière ...

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...

Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R > 0\). Déte ...

On suppose que les séries \(\sum a_{2n}z^n\) et \(\sum a_{2n+1}z^n\) ont pour ray ...

Soit \(a(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini et ...

Pour \(n\in\N\) et \(x\in\R\) on pose ...

Développer en série entière les fonctions suivantes :

Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).

Développer en série entière \(\frac{e^x}{1-x}\) puis \(\frac{e^{x^2}}{1-x}\).

Développer en série entière \(f(x) = \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\).

Développer \(f(x) = \frac x{1-x-x^2}\) en série entière en utilisant la relation : ...

Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...

Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...

On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : ...

Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...

Soit  ...

Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)

Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...

Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...

Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...

Soit \(q \in {]-1,1[}\) et \(f(x) = \prod_{n=1}^\infty (1-q^nx)\).

Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...

Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...

Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...

Pour \(x \in \R\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n\sin\frac1{\sqrt n}\). ...

Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...

Montrer que l’équation \(3xy' + (2-5x)y = x\) admet une solution développable en série entière autour de ...

En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...

On pose \(f(x) = \frac{\Arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\).

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).

On note \(T_n\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments.

Soit \((a_n)\) la suite réelle définie par : \(a_0 = 1\), ...

Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).

M ...

On note \(\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}\) et ...

Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...

A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...

On admet que \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...