Programme de mathématiques PT
B - Fonctions de deux ou trois variables
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Cette section est consacrée aux fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ pour $p = 2$ ou $3$, sauf dans le paragraphe (g). Leur étude est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie.
La notion de différentielle est hors programme.
- a) Topologie de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ 64
- b) Limite et continuité 96
- c) Dérivées partielles d’ordre 1 0
- d) Dérivées partielles et composées 3
- e) Dérivées partielles d’ordre 2 3
- f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ 9
- g) Fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ ($p \leqslant 3$, $n \leqslant 3$) 61
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Continuité de Fonctions
La fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles de $f(x,y)=y^2\ln|x|$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles en un point
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles et non-différentiabilité en l'origine
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, lignes de niveau et points critiques de $f(x,y)=x^2 y$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \(\)f(x,y) = {
...Différentiabilité d'une fonction de deux variables
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et si possible donner une représentation graphique.
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère une boîte dont la longueur \(\ell\), la largeur \(w\) et la hauteur ...
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
exo7 1741
Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.
...
exo7 1742
Montrer que toute reunion et toute intersection finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. Que peut-on dire des intersections infinies d’ens ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1747
Soit l’application ...
exo7 1754
Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...
exo7 1755
On se propose de montrer que tout ouvert de \(\R\) est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère d ...
exo7 1758
Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\).
exo7 1760
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soient \(A\) et ...
exo7 1764
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1769
Soit \(X\) une partie de \({\Rr}^{2}\); montrer qu’elle est fermée si et seulemen ...
exo7 1771
Soit \(\left( K_{n}\right) _{n\in \Nn^{*}}\) une suite d’ensembles fermés bornés de ...
exo7 1772
Montrer que l’intersection de deux ensembles ouvert est ouvert, que l’union de deux ensembles fermés est fermée, que cela reste vrai pour un nombre ...
exo7 1773
Soit \(E\subset {\Rr}^{2}\) un ensemble ; on pose ...
exo7 1774
Soit \(A\) une partie bornée de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...
exo7 1775
Soit \(C\) une partie convexe de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...
exo7 1776
Classer (pour l’inclusion) les parties : \(\overline{A\cap B}, \overline{A} \cap \overline{B}\) et ...
exo7 1777
Dans l’espace vectoriel normé \(\R\), chacune des parties suivantes est-elle ouverte ? fermée ?
...
exo7 1781
Déterminer l’adhérence de chacune des parties de \(\R\) suivantes :
exo7 1782
Soient \(A\) et \(B\), deux parties d’un evn ...
exo7 1783
Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) une suite réelle. \(\forall n \geq 1\), on pose ...
exo7 1785
Soit \(f \colon \R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R\) la fonction définie par ...
exo7 1786
Soit ...
exo7 1787
Déterminer les limites lorsqu’elles existent:
exo7 1788
Pour chacune des fonctions \(f\) suivantes, étudier l’existence d’une limite en ...
exo7 1789
Étudier la continuité des fonctions définies sur \(\R^2\) par ...
exo7 1790
Étudier la continuité de la fonction \(f_1:\R^2\rightarrow\R\) définie par ...
exo7 1791
Prolonger par continuité la fonction \({g}:{(\Rr^{2})^{*}}\to{\Rr}\), ...
exo7 1792
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) telle que ...
exo7 1794
Etudier la continuité sur \(\R^2\) de la fonction suivante :
exo7 1795
On définit la fonction \(f\) sur \(\R^2 \setminus \{ (x,x) \; ;\; x\in \R \}\) pa ...
exo7 1796
Etudier la continuité en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 1797
...